LIV. V, CHAP. III — DE LA LIGNE DROITE

çant les différences .r — x1, y — i/, s — z' par leurs valeurs dans la formule

1= V(x—x') *+(ÿ- ÿO *+(*—*')’>

ce qui donne

I Aæ'-f B// + Cz'4-D

On retrouve ainsi la formule à laquelle nous avons déjà été conduits par une autre méthode (n° 422).

PAR UN POINT DONNÉ MENER lîN PLAN PERPENDICULAIRE A UNE DROITE DONNÉE.

438 — Soient xJ, y', z! les coordonnées du point donné M, x=zaz+p, y=bz+q

les équations de la droite. Le plan cherché, passant par le point M, a une équation de la forme

A(*-a/)+B(y- y')+C(*-rf)=o.

Ce plan sera perpendiculaire à la droite, si les relations A B C

sont vérifiées. En remplaçant les rapports ^et — parleurs

valeurs a et b, l’équation du plan cherché devient (19) a [x — x?) + b(y — y') + (z — s')=0.

On obtient encore immédiatement cette équation, en remarquant que les quantités a, b, I sont proportionnelles aux cosinus des angles que fait la droite donnée avec les axes, tandis que les quantités x — x', y — i/, z—z' sont proportionnelles aux cosinus des angles que fait avec ces mêmes axes la droite qui va du point M à un point quelconque du plan; ces deux directions étant rectangulaires, la somme des produits de ces quantités deux à deux doit être égale à zéro.

430 — On aura le point P où le plan coupe la droite, en joignant l'équation du plan aux deux équations de la droite ; celles-ci étant mises sous la forme

x — x'—a ( z — z1) — (x/ — a:' — p) , y — !/=b [z—z')—tf — bz'—q), on en déduit, en remplaçant x — x/ et y— y1 dans l’équation du plan,

, a (x*— as'— p)+b (y'—bz'—q)

A l’aide de ces formules , on calculerait aisément la distance MP du point à la droite donnée. Mais nous l’obtiendrions plus rapidement par une autre méthode.

PAR CS POINT DONNÉ MENER UNE DROITE PERPENDICULAIRE A UNE DROITE DONNÉE.

440— Soient x', y', z' les coordonnées du point donné,

ar=g:-fp, y=bz + q

les équations de la droite donnée. La droite cherchée est l’intersection de deux plans, l’un mené par le point et la droite donnés, l’autre mené par le point donné perpendiculairement à la droite donnée. Le premier a pour équation (n« 429}

x—az — p y — bz — q

or'—az — p y' — bz'—q '

le second (n° 438)

a(x—oc‘) + b[y—y')+(z—z')=:0; les deux équations simultanées représentent la droite cherchée.

DISTANCE d’un POINT A UNE DROITE DONNÉE.

441— Appelons toujours x\ )/, z1 les coordonnées du point donné M. Supposons d’abord que la droite donnée 01, passe par l’origine , et désignons par a, p, y les angles qu elle fait avec les axes des coordonnées rectangulaires. La perpendiculaire MP, abaissée du point M sur la droite OL , étant un côté d’un triangle rectangle OMP (fig. 237}, on a

/’=mp’=ôm’-üp‘.

La distance OM est connue; elle est donnée par la formule OM’==x'« -f y" + s\

Quant à la distance OP, c’est la projection de la droite OM sur