LIV. V, CHAI’. 111.— DE LA LIGNE DROITE. iOl

la droite OL; en écrivant que la projection de la droite OM est égale à celle de la ligne brisée OABM, dont les côtés sont les coordonnées x', y1, z' | du point M, on a

OP=y COS a -f l/ COS P + S' COS f.

11 vient de la sorte (20) + — (x1 COS a -f xf COS {S-f-z' COS y)’.

On peut mettre cette formule sous une autre forme. Si l’on multiplie la quantité y‘t +s'* par cos ’s-j- cos ’p + cos * y, c’est-à-dire par l’unité, on a

/,=(^,-fÿ',4-z',)(cos,a-f-cos’p-l-cos,Y)— (x'cosa+./cosp+s'coiY)’.

en effectuant les calculs et groupant convenablement les termes, il vient

(21) P= ( x/cosy—z'cos p)’-t- (s1 cos a — x'cosy)'-\-(x'cos 3 — j/cos a)’.

Supposons maintenant que la droite donnée ne passe pas par l’origine, et soient

x=az+p, y=bz + q

les équations de cette droite. Imaginons que l’on transporte les axes, parallèlement à eux-mêmes, en un point de la droite, par exemple au point (p, q, o) où elle perce le plan XOY ; les coordonnées du point M relativement à ces nouveaux axes étant x' — p, xJ — q, z', on aura, en appliquant la formule (21), /*=[({/' — q)coty— î'eo»(5j*-|-[(x'— p)cot/— p)cotp— (y1— î)eoi*]»; si l'on remplace enfin cos a, cos p . cos y par leurs valeurs, on obtient la formule

,aa\ az’-pM- (y’—bz'—qf + \b(x‘—p)—a (. x/'—q ) ]«

PLl’S COURTE DISTANCE DE DEUX DROITES.

442 — Soient

x=az -fp-, y=bz-\- q les équations de la première droite AB,

x = àz-\-p', y=b'z + q’

celles de la seconde droite CD (fig. 238). On sait que la perpen-

dieulaire commune MN à ces deux

droites mesure leur plus courte distance. On sait aussi que la longueur l de cette perpendiculaire commune MN est égale à la distance d’un point quelconque de la droite CD au plan P mené par la droite AB parallèlement à CD. Cherchons d’abord l’équation du plan P; tout plan mené par la droite AB a une équation de la forme i zl t ^ }

(x—az—p) + l(y—bz—q)=0; - --0-'. „

ce plan sera parallèle à CD, si la condition (n® 426)

est remplie; on en déduit

et par suite le plan P a pour équation

(23) (b — b') (x — az — p)—(a — a') (y — b: — q)= 0.

La distance à ce plan d’un point quelconque de la droite CD, par exemple du point (p1 ,q', 0), où elle perce le plan XOY, a pour expression (n® 422)

(2.i) ! — [b~b ) (P— P7» — («—<*') fr— 9') .

± \Z(a—a')'+(b—b)'+(âbr—bâÿ Telle est la plus courte distance des deux droites données.

4«-Si l’on demandait les équations de la perpendiculaire commune MN, il faudrait, par chacune des droites données AB, CD, mener un plan perpendiculaire au plan P; ces deux plans, par leur intersection, détermineraient la droite MN. Un plan

(X — az— p) + \(y— bz — q)=0, mené par la droite AB, sera perpendiculaire au plan P représenté par l’équation (23) , si la condition (n° 421)

(b — b’) — X (« — a') —(a +Xti) ( ab — ba') = 0 est vérifiée; on en déduit la valeur de X, et le plan cherché a pour équation