PLAN TANGENT

457 — Nous commencerons par rappeler un théorème démontré en algèbre; supposons que les lettres y et s désignent deux fondions de la variable x, assujetties à vérifier 1 équation (1) f(x,y,:)=0.

Si l’on désigne par y' et les dérivées de ces deux fonctions par rapport a la variable x, ces deux dérivées sont liées entre elles par la relation

(2) n+y'K+z'flxxQ.

En efTet, quand y et % sont des fonctions quelconques de la variable x, la fonction {{x, y, z) est une fonction composée de cette même variable, et cette fonction a pour dérivée

Si l’on suppose maintcuaul que les fonctions y et z véiiûent l'équation (1), la fonction f (x, y, z) étant constamment nulle,

sa dérivée est aussi constamment nulle, et, par conséquent, les deux quantités y' et z! vérifient l'équation (2).

Fig. 245.

458 — Cela posé, considérons la surface représentée par l'équation (1). Soit M un point de cette surface ayant pour coordonnées x, y, z ; par le point M traçons sur la surface une courbe quelconque MA; quand le point M parcourt la courbe, deux des coordonnées y et s peuvent être regardées comme des fonctions de la troisième x; la nature de ces fonctions dépend de la courbe MA tracée sur la surface; mais elles satisfont constamment à l’équation (I), et par suite leurs dérivées à l’équation (2). Appelons x, , y, , z, les coordonnées d’un second point M, appartenant à la courbe, et voisin du point M; la sécante MM, est représentée par les équations

les lettres X, Y, Z désignant les coordonnées d’un point quelconque de la droite. Quand le point M, se rapproche indéfini-

ment du point M, les rapports — — - - — - ont pour limites

iîCj“*x or

les valeurs des dérivées y' et z' des deux fonctions y et z au point M ; la tangente MT à la courbe au point M est donc représentée par les équations

Y— y=y'(X— x), l—z=z'Qi—x).

Ces équations renferment deux paramètres variables ?/ et z' assujettis à vérifier l’équation (2). On obtiendra le lieu des tangentes au point M à toutes les courbes tracées sur la surface et passant par ce point, en éliminant ces deux paramètres entre les deux équations de la tangente et l’équation de condition (2). Ce lieu a pour équation

(3) (X-x) /j+(Y — y) fi + (Z-z) /V= 0.

C’est un plan qu'on appelle le plan langent à la surface au point M.

Lu normale à la surface au point M est la perpendiculaire