L1V. V.CHAP. IV.— GÉNÉRATION UES SURFACES. 4H

leur, on obtient évidemment deux génératrices GH, GH'; l’angle de ces deux génératrices diminue à mesure que le plan sécant s’élève ; enfin , le conoïde se termine par une arête DR.

Coupons la surface par un plan EFE' parallèle au plan du cercle; ce plan a pour équation x=a'; la courbe d’intersection

est une ellipse dont le demi-axe IF est constamment égal à r et dont l’autre axe EE' diminue jusqu'à zéro, quand le plan sécant se rapproche de l’axe du conoïde.

Si: RF ACES DF. RÉVOLUTION.

453 — On appelle surface de révolution une surface engendrée par la rotation d'une ligne autour d’un axe fixe auquel elle est invariablement liée. Chaque point M de la génératrice décrit un cercle dont le plan est perpendiculaire

à l’axe et qui a pour centre le pied P de la perpendiculaire abaissée du point M sur l'axe.

Les cercles décrits par les différents points de la génératrice ont été nommés les parallèles de x la surface. Les sections faites par des plans qui passent par l’axe sont égales entre elles; ce sont les méridiens de la surface. Ordinairement on choisit pour génératrice de la surface une

On peut aussi concevoir une surrace de révolution comme engendrée par le mouvement d’un cercle, de rayon variable, dont le centre parcourt une ligne droite, dont le plan reste

perpendiculaire à celte droite, et qui rencontre la génératrice donnée.

Supposons d’abord que l’on prenne l’axe de rotation pour axe des z, les coordonnées étant rectangulaires ; un parallèle de la surface sera représenté par des équations de la forme x'+y' = a, z = p;

en exprimant que ce cercle rencontre la génératrice donnée, on obtiendra une équation de condition ? («,p) = 0 entre les" deux paramètres variables o et p. Si l’on élimine « et p entre cette équation et les deux équations du parallèle, on aura l’équation

(6) Ÿ(x,+y*,3)=0 de la surface de révolution.

454 — Cherchons, par exemple, l’équation de la surface engendrée par une droite AB, tournant autour d’un axe OZ.

Prenons l’axe de rotation pour axe des z, la perpendiculaire commune entre l'axe et la droite AB dans une de ses positions pour axe des y, et une perpendiculaire au plan YOZ pour axe des x.

La droite AB, dans cette position particulière, aura pour équations y=a, x=mz,

a étant la plus courte distance OA, m la Fig. *43. tangente trigonométrique de l’angle ZOB' que fait l’axe OZ avec la droite OB' parallèle à AB. Pour que le cercle parallèle

ar’ + y^a, s=p

rencontre la droite AB, il faut que l’équation de condition , *'■-«“ a — m*p’ = a\

que l'on obtient, en éliminant x, y, z entre les équations de la droite et celles du cercle, soit vérifiée; l’élimination des deux paramètres variables a et p entre cette équation de condition et celle du cercle, donne l’équation de la surface de révolution

LIV. V, CHAP. IV.— GÉNÉRATION DES SURFACES. 413 (7) x'+y' — m1 zi=a\

Si l’on fait y=0 dans cette équation, on obtient la trace de la surface sur le plan XOZ; c’est une hyperbole

ayant son axe transverse OD dirigé suivant OX , et pour asymptotes les droites OB' et OC' également inclinées de part et d’autre sur OZ. On peut considérer la surface comme engendrée par cette hyperbole méridienne tournant autour de son axe imaginaire. C’est pourquoi on lui a donné le nom A'hyperboloide de révolution à une nappe.

L’équation (7) ne renfermant le coefficient angulaire m qu’au carré, il est clair que la même surface sera engendrée par les deux droites AB et AC, toutes deux perpendiculaires à OA, et également inclinées de part et d’autre sur la droite AZ' parallèle à OZ. .

455 — Considérons en particulier le cas où la génératrice est la courbe méridienne que l’on peut supposer placée dans le plan XOZ et représentée par les équations y=0, <Hæ,ü) = 0.

Si l’on élimine x, y, z entre les deux équations et celles du parallèle

x*+y'=:*, z=f, on obtient l’équation de condition

L’équation de la surface de révolution est donc +(v *)=0,

On l’obtient en remplaçant x par dans l’équation du

méridien.

Par exemple, si la courbe méridienne est l’hyperbole xi — m*2*= a’, l’hyperboloïde de révolution à une nappe aura pour équation

Comme second exemple, considérons le lore, c’est-à-dire la surface engendrée par un cercle tournant autour d’un axe situé dans son plan sans passer par le centre. Si l’on prend br. 27

pour axe des s l'axe de révolution, et pour axe des x une perpendiculaire abaissée du centre du cercle sur l’axe, l’équation du cercle dans le plan des xz étant

(x-a)*-hs‘ = r*, celle de la surface sera

(\Zïî+ÿ’-a)’+: -r'.

456 — Supposons maintenant que l’axe de rotation OL passe par l’origine, mais ait une direction quelconque dans l’espace.

Soient

les équations de cette droite. Tout parallèle de la surface sera donné par l’intersection d’une sphère décrite de l’origine comme centre et d’un plan perpendiculaire à l’axe; ce cercle sera donc représenté par deux équations de la forme

ax+by-\-cz+d=z p.

En écrivant que le parallèle rencontre la génératrice donnée, on aura une équation de condition <ç (a, fs) = 0 entre les deux paramètres variables a et p. L'élimination de ces deux paramètres entre cette équation de condition et les deux équations du cercle conduira à l’équation de la surface de révolution (8) «(Æ’+y’+x*, ax+by+cz + d)= 0.

C’est une équation entre le polynôme du second degré s* et un polynôme quelconque du premier degré.

Réciproquement toute équation de celle forme représente une surface de révolution autour d’une droite passant par l’origine. Considérons, en effet, la droite OL qui a pour équations

et posons

ax+by+cz+d—p-,

LIV. V, CHAP. IV.— GÉNÉRATION DES SURFACES. 415 l’équation proposée (8) devient p) = ü. A tout système de valeurs réelles de a et de fl (a étant positive) vérifiant celte équation, correspond un cercle donné par l’intersection d’une sphère ayant l’origine pour centre, et d’un plan perpendiculaire à la droite OL; le centre du cercle sera situé sur la droite OL et le lieu des cercles formera une surface de révolution autour de cette droite.

Supposons enfin que l’axe de rotation ne passe pas par l’origine; prenons un point fi xe[x„y„zt) sur cet axe dont les équations seront

x—x, y—y,z—z, abc

Tout parallèle de la surface sera donné par l’intersection d’une sphère

ayant son centre au point fixe, et d’un plan ax+fcy+ci+d = fi

perpendiculaire à l’axe, l’équation de la surface de révolution sera donc de la forme

(9) <?[(*— xJ'-Hy— y.)’+(ï— ax+6y + c;-|-d] = Û.