LIV. V, CHAP. V.— DE LA SIMILITUDE

403 — On sait (no 35*) qu'une droite a pour homothétique une droite parallèle. Considérons un plan P et, dans ce plan, une série de droites passant par un même point M; chacune d’elles aura pour homothétique une droite parallèle passant par un point M' homothétique de M. On en conclut que la figure homothétique d’un plan est un plan parallèle.

Si le plan P passe au centre de similitude, il est à lui-même son homothétique.

Puisque deux plans ont pour homothétiques deux plans parallèles, l’angle de detix plans est égal à l’angle des plans homothétiques.

Les sécantes, qui joignent deux points homologues de deux courbes homothétiques quelconques , étant constamment parallèles, on en conclut que les tangentes aux points homologues sont parallèles.

Si l'on trace sur deux surfaces courbes deux séries de lignes homologues qui passent toutes par deux points homologues M et M', les courbes homologues auront en M et M' des tangentes parallèles ; donc, les plans tangents en deux points homologues de deux surfaces homothétiques sont parallèles.

463 —Si, par deux points fixes, on mène des rayons parallèles, et, dans un rapport constant k, on forme deux systèmes homothétiques; la démonstration est la même que celle du n° 355. 11 en résulte également que deux systèmes homothétiques à un troisième sont homothétiques entre eux ; quand les deux systèmes sont construits avec le même rapport de similitude, on peut les superposer. Ainsi, aeecun seul centre de similitude, en faisant varier le rapport k de 0 à x , on obtient tous les systèmes homothétiques à un système donné. En particulier, si le système donné est compris dans un plan , les centres de similitude extérieurs au plan ne donnent pasd'autres systèmes que les centres compris dans le plan.

464 — Les six centres de similitude de quatre systèmes homothétiques deux à deux sont compris dans un même plan.

m GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

Soient A, A', A", M" les qnatre systèmes donnés ; par les trois centres de similitude 0/, O", O"1 des systèmes A et A', A et A", A et A"' faisons passer un plan P; ce plan, passant par le point CK, est à lui-même son homologue dans les systèmes A et A', il est aussi son homologue dans les systèmes A et A'' ; par conséquent, le plan P est a lui-même son homologue dans les systèmes A' et A"; donc, il passe par leur centre de similitude. Le même raisonnement s'applique aux combinaisons A' et A"1, A" et A'".

Lorsque deux figures à centres sont homothétiques directes, elles sont aussi homothétiques inverses; et réciproquement. La démonstration est la même que celle du n° 357. Il résulte de là que si les quatre systèmes considérés dans le théorème précédent ont des centres, on aura six points dans un même plan, en prenant, soit les six centres de similitude externes, soit, d une manière convenable , trois centres externes et trois internes.

465 — Le rapport des air. s de deux polygones homothétiques étant égal à k *, on voit que te rapport des aires de deux polyèdres homothétiques , et par suite, le rapport des aires de deux surfaces homothétiques quelconques est égal à k*.

liOrsqu’on abaisse des perpendiculaires de deux sommets homologues de deux tétraèdres homothétiques sur les faces opposées, ces perpendiculaires sont deux droites homologues, elles ont pour rapport k, le rapport des bases étant k*, il en résulte que le rapport des volumes de deux tétraèdres homothétiques est égal à k". Ce dernier théorème s’applique à deux polyèdres et même à deux solides quelconques homothétiques.

466 — line figure est semblable à une figure donnée lorsque, par un déplacement convenable, elle peut coïncider avec l’une des figures homothétiques à la figure donnée. Il résulte du n*> i63 que l’on obtiendra toutes les surfaces semblables a une surface donnée, en prenant arbitrairement un centre de similitude, et en construisant avec ce centre les diverses sur-