LIV. V, CHAP. V.— DE LA SIMILITUDE. AM
faces homothétiques qui correspondent aux valeurs de k comprises entre 0 et « .
Exemple I. La surface donnée est une sphère. Prenons le centre de la sphère O pour centre de similitude; le rayon OA étant constant, le rayon OA7 sera également constant; une surface semblable à une sphère est une autre sphère qui peut avoir un rayon quelconque.
Exemple IL La surface donnée est un cône. Prenons le sommet pour centre de similitude, deux points homologues seront compris sur la même génératrice du cône donné. La seule figure semblable à un cône est ce cône lui-méme.
Exemple III. La surface est un cylindre. Prenons un point arbitraire O pour centre de similitude, et traçons sur le cylindre donné une courbe arbitraire C que nous prendrons pour directrice du cylindre. A la courbe C correspond une courbe homothétique C, et à toute génératrice du premier une droite parallèle passant par le point de cette courbe homologue du |K>int où la courbe C est rencontrée par lu première génératricc;ainsi, deux cylindres sont homothétiques lorsqu'ils ont pour directrices deux courbes homothétiques et leurs génératrices parallèles.
Considérons deux cylindres homothétiques, ayant le point O pour centre de similitude ; si l’on mène par ce point une parallèle 0(y aux génératrices des deux surfaces, tout point do cette droite est un centre de similitude des deux surfaces. U en résulte que les sections de deux cylindres homothétiques par le même plan sont des courbes homothétiques ayant pour centre de similitude le point où le plan coupe la droite OO'. Comme les sections d'un cylindre par des plans parallèles sont égales, les sections de deux cylindres homothétiques par des plans parallèles sont homothétiques.
46 T— Les sections d'une surface du second degré par des plans parallèles sont des courbes homothétiques. L’équation générale des surfaces du second degré est
(I) Ar'-j-Ay+AV+ÎBfi+ÎB m f 2B"xÿ+2O+iC'E+2C";+K;0 .
on obtient la projection sur le plan XOY de l'intersection de cette surface et du plan
(2) ax -\-by-\-cz=l,
en éliminant la variable z entre les équations (I) et (2). Or, dans l’équation ainsi obtenue , les coefficients des termes du second degré sont indépendants de /, on en conclut que, lorsque / varie, a, b, c restant fixes, c’est-à-dire lorsque le plan se déplace parallèlement à lui-même, les projections sont homothétiques ; les cylindres projectants, ayant pour directrices des courbes homothétiques, sont coupés par deux plans parallèles suivant des courbes homothétiques. Quand ces courbes sont des hyperboles, l'une peut être homothétique à la conjuguée de l’autre (n<*363).
