DU CENTRE

469— ÎJn point 1 est le centre d'une surface lorsque les points de la surface sont placés symétriquement, deux à deux, par rapport à ce point. Comme une ligne droite ne rencontre une surface du second degré qu’en deux points, il faut, pour qu’un point I soit le centre de la surface, que toutes les cordes menées par ce point y soient divisées en deux parties égales.

Lorsque l’origine des coordonnées est centre d’une surface du second degré, l’équation de la surface ne contient pas de termes du premier degré. En effet, les équations d'une droite menée par l’origine sont de la forme

(2) x—ms, y=ny.£

42<i GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

Les coordonnées z des points de rencontre de la surface et de la droite sont déterminées par l’équation (3) (Am»+AV+A"+2Bn+2B'm+ïB"niK) **-Jr2(C«+C'i«-f^,)î+F=0, que l’on obtient en éliminant x et y entre les équations (I) et (2). Si l'origine est centre, l’équation (3) a ses racines égales et de signes contraires , ce qui exige que le coefficient Cm+C'n+C^ soit nul; et comme ceci doit avoir lieu pour une infinité de valeurs de m et de n, prises arbitrairement, il faut que l’on ait séparément

La réciproque est vraie.

470 — D’après cela, pour déterminer le centre d’une surface du second degré, on transporte l’origine en un point I de l’espace, dont nous désignerons les coordonnées par a, b, c,el l’on cherche s’il est possible de choisir ces valeurs de manière que la nouvelle équation ue contienne pas de termes du premier degré par rapport aux coordonnées nouvelles.

Lorsqu’on déplace les axes parallèlement à eux-mêmes, les formules de transformation sont

x=a+x', y=zü+i/, z=c+z'; substituons dans l’équation (!) et effaçons les accents, nous aurons

(t) Ai» -LA'îf»+A"i»-p2%j+;B’;.r-f îa’xy+xfta, b,c) +?/£(«, b, c) +*£(«, *. c)+f(a, b, c) = 0.

Les coordonnées du centre sont donc déterminées par les équations

fl(a,b,c)—0, è,c)=0, fr(a, b, c)=0;

si l’on divise par 2 et si l’on remplace les lettres a, b, c par x, y, z, ces équations s’écrivent

B'x+By+A,/*+C'=0.

Ainsi, on obtient les coordonnées du centre en égalant à zéro les dérivées partielles du premier membre de l'équation de la surface prises par rapport aux variables x, y, z.

LIV. VI, CIIAP. I.— CENTRE ET PLANS DIAMÉTRAUX. 427 47* — Si l'on regarde x. y, s comme étant les coordonnées d'un point variable, chacune des équations (5) déduit un plan ; le centre de la surrace est le point commun aux trois plans. Plusieurs cas peuvent se présenter.

i° Les trois plans se coupent en un point unique; la surface admet alors un centre unique.

2u Les trois plans se coupent deux à deux suivant des droites parallèles, ou d’eux d’entre eux au moins sont parallèles ; dans ce cas, les trois plans n'ayant pas de point commun, la surface n’a pas de centre.

3° Les trois plans se coupent suivant la même droite ou se confondent en un seul; tous les points de la droite ou du plan sont centres de la surface.

La résolution des équations (5) donne pour valeur du dénominateur commun D,