D = A A' A''— AB A'B' *— A"B"*+2 BB'B

Lorsque D n’est pas nul, les équations sont vérifiées par un système de valeurs finies et par un seul ; la surface admet un centre unique. Lorsque D est nul, il y a impossibilité ou indétermination, et par conséquent, la surface est dépourvue de \ centre, ou elle en admet une infinité.

479— Supposons que tous les points de la droite CC' (Dg. 246) soient des centres. Si l’on joint un point M de la surface à un point quelconque 1 de la droite CC', et que l’on prolonge d’une longueur IN égale à MI, le point N appartient à la surface; en joignant ainsi le point M à tous les points de CC', on obtient une droite N N' parallèle à CC'. Si l’on joint maintenant le point N à tous les points Fig. î«. <je ce', on forme de même une seconde

droite MM' parallèle à NN'. La surface se com[>ose donc de droites parallèles à CC' et situées deux à deux dans un même plan avec cette droite et à égale distance de part et d’autre; c’est un cylindre qui a pour axe CC', et comme la trace du

cylindre sur un plan non parallèle aux arêtes est une courbe

du second degré, ce cylindre est un cylindre elliptique ou

hyperbolique.

Le raisonnement précédent démontre que, dans le cas que nous considérons, l’équation (t) ne peut pas représenter d’autres surfaces courbes que des cylindres elliptiques ou hyperboliques; mais il peut arriver que cette équation représente une seule droite ou deux plans, et enfin qu’elle n’ait pas de solutions réelles.

On démontre de la même manière que, lorsque tous les points d'un plan sont des centres , l’équation (1) représente, ou deux plans parallèles, ou un plan unique, ou qu’elle n’admet pas de solutions réelles.

473 — Lorsque la surface admet un centre I ayant pour coordonnées a, 6, c, si l’on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes en ce point, l’équation (1) se réduit à

(7) Ax *+A'y ’ + A"z'-f 2B(/i+2B,zx+2B";ry+F,= o , en posant

F1=Aa4-A'i4-A’,r*-l-ÏBif+ÎB'ra4-2ra64-2CB+2C’»-f2Cc4.F.

Les nombres a, b, c vérifient les relations (5), c’est-à-dire que l’on a

Ao + B"6+B'e+C=0,

B"a+A'6 + Bc + C’=0,

Si l’on multiplie les deux membres de chacune de ces égalités respectivement par a, b, c et que l’on ajoute, on a

A«»+A'A>+AV»-f2Bi-c+SB'«a+ÏB'a*-fCa+C'H-C''c=0.

La valeur de F, se réduit donc à

F,=F-(-Ca-f C'b + Ü'c;

on l’obtient en ajoutant à l'ancien terme constant la moitié des valeurs que prennent les termes du premier degré lorsqu’on y remplace x, y, z par les coordonnées du centre.

Lorsque la nouvelle constante F, est égale à zéro, l’équation (7), étant homogène par rapport à x, y, z, ne peut représenter qu’un cône ayant pour sommet l’origine; cependant, le lieu peut se réduire à deux plans, à une droite, ou à un point.