LIV. VI, CHAP. I. — CENTRE ET PLANS DIAMÉTRAUX

474— Nous avons vu que les tangentes aux diverses courbes tracées par un même point sur une surface sont situées dans un môme plan ; il n’y a d’exception que lorsque les coordonnées du point annulent à la fois les trois dérivées partielles du premier membre de l’équation par rapport à x, y, z. Dans le cas des surfaces du second degré , un pareil point est centre de la surface ; ce point étant aussi situé sur la surface, quand on y transporte l’origine des coordonnées, la constante F, est nulle; ainsi, pour les surfaces du second degré, l’exception n'a lieu que dans le cas du cône, quand le point est le sommet.

PLANS DIAMÉTRAUX.

475— 1100 ligne droite ne perce une surface du second degré qu’en deux points; la surface, qui partage en deux parties égales les cordes parallèles à une même direction, a été appelée surface diamétrale.

Soient m et n les paramètres constants qui définissent la direction des cordes; transportons les axes parallèlement à eux-mêmes en un point quelconque de l’espace, ayant pour coordonnées a, b, c, l'équation (1) prend la forme (4). Une droite, menée par la nouvelle origine dans la direction donnée, est représentée par les équations

x=mz, y =nz.

On obtient l’équation qui donne les coordonnées z des points de rencontre de la droite et de la surface, en remplaçant, dans l’équation (i) , x par mz, y par nz ; on a ainsi

(8) ;Am’-f-A n!-f A'-J-iBn-f-iK'

Pour que le point (a, 6, c) soit le milieu de la corde menée par ce point dans la direction donnée, il faut que l’équation précédente ait ses deux racines égales et de signes contraires, ce qui exige que les coordonnées a, b, c vérifient la relation

(iette équation, étant vérifiée par les coordonnées du point milieu de l’une quelconque des cordes de la série considérée, nu. 28

représente le lieu cherché. Remplaçons a, b. c par x, y. z ; cette équation s’écrit

(9) mf'Jx, y, z)+nf,[x, y, z)+f,(x, V, s)=©; comme elle est du premier degré, elle représente un plan. Ainsi, dans les surfaces du second degré, pour (ouïes les directions de cordes, la surface diamétrale est un plan. .

470 —Si les paramètres m et n satisfont h la relation Am*-j-A’n,-(-A"-l-2Bn-f 2B'm + 2B"»m=0, l'équation (8) s’abaisse au premier degré, c’est-à-dire quo les droites parallèles à la direction donnée ne percent la surface qu’en un point, il n’v a pas île plan diamétral correspondant à cette direction.

L’équalion (9) est vérifiée, quelles que soient m et n, par les valeurs de .r, y, z qui satisfont à la fois aux trois équations qui déterminent le centre

fl=0, /J=0, ft= 0;

il en résulte que tous les plans diamétraux passent par le centre de la surface, quand il en a un, ou par le lieu des centres s’il y en a une infinité.

477 — Lorsque la surface est dépourvue de centre, les trois plans définis par les équations (5) sont parallèles, ou la droite d’intersection de deux d'entre eux est parallèle au troisième. Dans le premier cas on a

fl-zfl+P,

i, p, p, q désignant des constantes; l’équation (9) se réduit à f1, («m + pn+ 1 }+ mp +nq = 0 ;

elle représente, pour toutes les valeurs de m et de n, des pians parallèles entre eux. Dans le second cas, si les plans définis par les deux équations fi = 0, /* = 0 se coupent suivant une droite parallèle au plan f',= 0, l'équation générale des plans qui passent par la droite d’intersection des deux premiers étant ?/■„'= 0, on a

LIV. VI, CHAP. I.— CENTRE ET PLANS DIAMÉTRAUX. 4:11 3, p, r étant des constantes; et par suite l'équation (9) prend la forme

elle représente des plans parallèles à la droite d'intersection des deux plans

fl- 0, f!j=0.

Ainsi les surfaces dépourvues de centre ont leurs plans diamétraux parallèles à une même droite ou parallèles entre eux.

478 — Considérons une direction à laquelle corresponde un plan diamétral ; si l’on prend pour axe des z une des cordes, pour axe des x et des y deux droites situées dans le plan diamétral, l’équation de la surface devra être vérifiée par deux valeurs de z égales et de signes contraires j>our chaque système de valeurs attribuées arbitrairement aux variables x et y. Elle aura donc la forme

ft(x, y) désignant une fonction qui ne renferme plus que les variables x et y et dont le degré ne surpasse pas 2. Déplaçons les axes des x et des y dans le plan XOY en conservant a l’axe des z sa direction; ce changement de coordonnées s'effectue par les formules de la Géométrie plane. Lorsque la fonction f,(x,y) est du second degré, nous avons vu (liv. III, chap. il), que l’on peut, d'une infinité de manières choisir les nouveaux axes Ox, 0 y, de telle sorte que cette fonction se réduise a l’une des formes

Mx’+Ny’+F, , Nr+Ux, Ny*+F„

et alors l’équation de la surface sera elle-même ramenée à l’une des formes

(I) Mx’+Ny’-t-P 3*-f-F,s=0,

(II) Ny,+P51+Qx=0,

(III) Ny’+Pz’+F^O.

Si la fonction F, est du premier degré, on la ramène par le même changement à la forme Qx, et l’équation de la surface devient

(IV) Ps* + Üx=0.

Enfin, si F, ne contient pus les variables x et y, l’équation de la surface est

(V) Pÿ»+F,=0.

479— Dans ce qui précède M, N, P, Q désignent des constantes différentes de zéro et F, une conslante-qui peut être nulle. L’équation (111), si elle a des solutions réelles, représente un cylindre elliptique ou hyperbolique , une droite ou deux plans qui se coupent. L’équation (IV) représente un cylindre parabolique. Si l’équation (V) a des solutions réelles, elle représente deux plans parallèles ou un plan unique. Ainsi quand on fait abstraction des cylindres, on voit que l’équation du second degré peut, d’une infinité de manières, être ramenée à l’une des formes (I) et (11).

Considérons l’équation (I); en égalant à zéro les dérivées partielles de son premier membre, ou obtient trois équations qui ont une solution unique; la surface admet donc un centre unique, l’origine des coordonnées. Chacun des plans des coordonnées est le plan diamétral des cordes parallèles à l’intersection des deux autres ; à cause de cette propriété, on les nomme plans diamétraux conjugués.

L’équation (11) représente des surfaces dépourvues de centre, puisque l’équation fx— 0 se réduit à Q=0. Le plan XOZ partage en deux parties égales les cordes parallèles a O Y et le plan XOY les cordes parallèles à OZ ; les lignes parallèles à OX ne percent la surface qu’en un point, et il n’y a pas de plan diamétral correspondant.

PLANS DIAMÉTRAUX PRINCIPAUX.

480 — Parmi les plans diamétraux d’une surface du second degré, on distingue en particulier ceux qui sont perpendiculaires aux cordes qu’ils divisent eu deux parties égales; ce sont des plans de symétrie de la figure. Dans ce qui précède, les axes de coordonnées étaient quelconques ; dans la recherche des plans principaux, nous supposerons les axes rectangulaires. Si l’on désigne par a, a', a'( les cosinus des angles que

L1V. VI, CHAI». I. -CENTRE ET PLANS DIAMÉTRAl'X. 433

fait avec les axes une ilireclion donnée, les équations d’une corde peuvent se mettre sous la forme

a. b, c étant les coordonnées d’un point particulier de celte corde, et x, y, z celles d’un point quelconque de cette même corde. La lettre p désigne la distance du premier point au second, affectée du signe -f on du signe — , suivant qu’elle est comptée dans la direction donnée ou dans la direction opposée.

On obtient l’équation qui donne les distances du point I aux points de rencontre de la corde et de la surface en remplaçant dans l’équation (4) les lettres x, y, z par «p.^p/^p, ce qui donne

(11) Sp»+2Tp+R=0, en posant, (tour abréger

( S=Aa,+A'«,+A'V'*-(-2BaV'-f2BV*-f2B'W,

(12) | T=« /•'(<!, b, c)+*’ f'b(a,b,c)+<rfi(a, b, c),

Si l’on suppose le point 1 fixe et que l’on fasse varier les angles a, *, <*", on peut regarder l’équation (t t ) comme représentant la surface en. coordonnées polaires. Le coefficients de p1 ne dépend que de la direction du rayon vecteur, le terme constant B ne dépend que de la position du point 1, tandis que le coefficient T varie à la fois avec la direction du rayon vecteur et la position du point I.

4SI — L’équation du plan diamétral des cordes parallèles à la direction (<*, a', a") prend la forme

«£+«,fï+«"f.=o.

c’est-à-dire

Soient A, ti, v les cosinus des angles que fait avec les axes des coordonnées la normale à ce plan diamétral, 0 l’angle de la normale avec, la direction des cordes, on a

Aa+B'V+BV R’a+A'a'-j-Ba'' B’a-f-Bai

aX+aV+«"v COS 0

«[Âa+BV+B ■*)-)-«'(B''a-|- . . . .) +~ S~’

Pour que le plan diamétral soit un plan [>rinc<p:>l r il faut que la normale au plan coïncide avec la direction des cordes; on doit donc avoir les relations

a a aff , |

^ ^ Aaf-B’j -j-B’ot” lî’d -f- A'^'-^-Ba” B^a-f-Ba'-f-A'V' S *

alors l’équation du plan principal devient

(15) S(aa?-f-a'ÿ-)-«''z)+C«-t-CV+CV'=0.

488 — Les équations (IA) donnent les suivantes ( (A— S)a+B”a'+BV=0,

(16) | BV+tA' — S)a'+Ba"=0,

( B'a+Ba'+(A’-S)a"=0; en y joignant la relation ' - ^

on a à résoudre un système de quatre équations à quatre inconnues.

Les trois inconnues a, a', «" ne pouvant être nulles en même temps, puisque la somme de leurs carrés doit être égale à l’Unité, l’une au moins, par exemple a", est différente de zéro. Pour résoudre ce système d’équations, on imaginera les premiers membres des trois équations (16) divisées par «<’, on

tirera des deux premières les valeurs des rapports — , — ;

substituant dans la troisième, on aura une équation ne renfermant plus que l’auxiliaire S ; la quantité S connue, comme

oc ai*

on a déjà les valeurs des rapports — -, —, on obtiendra lus

cosinus au moyen de l’équation (17).

Au lieu de diviser par a”, supposons qu’on lire des deux premières des équations (16) les valeurs de a et a', et qu'au substitue dans la troisième, ou arrivera a une équation de la forme l),a''=:ü; puisque *” est différent de zéro, on aura

LIV. VI, CHAP. I.— CENTRE ET PLANS DIAMÉTRAUX. 435 I*, = 0 ; c’est l’équation en S. Mais il est évident que le polynôme D, n'est nuire chose que lu dénominateur commun des formules de résolution du système (1(5) considéré comme un système à trois inconnues *, a', a1'. On observe aussi que l’on peut former ce polynôme en remplaçant dans le jiolynôine que nous avons appelé D (n« 471) les lettres A, A', A" par A-S, A'— S, A"— S. L’équatidh qui donne l’inconnue S est donc (18) (A-S:(A'~ S) (A*— S) -(A-S) B*— (À— S)B'»— (A*— S) B'»+2BB'l!"=0; quand on développe ie polynôme par rapport aux puissances de S, on voit que le terme Indépendant de S est la quantité I) elle-même.

)4S3— Afin d’arriver à une forme d’équation plus commode à "discuter, nous allons faire l’élimination d’une autre mahière: multiplions les équations (16) respectivement par B, B', B'', et retranchons les résultats deux à deux, il vient

(I») t (S— A)B+ B'B'']*=l(S-A')B'+BB’>'=l(S—

(S — A) B-rB'B" (S— A )B'+BB" (S-A'JR’+BB'

Si l'on substitue dans l’une des mêmes équations, la première, par exemple, a la place de *, *" les quantités proportion-

nelles, on trouve