A — AO (A — A") — B

était satisfaite, cette racine A serait racine double. Pour cette racine double, les équations (16) se réduiraient à une seule (A'-A)«'+Ba"=0.

A cette racine double correspondraient toutes les directions parallèles au plan

(A'— A) y+ Bs=0.

III. — Lorsque les trois coefficients B, B', B" sont nuis à la fois, l’équation en S prend la forme

et admet pour racines A, A', A". Quand ces trois racines sont inégales, les équations (16) montrent qu’à ces racines correspondent des directions respectivement parallèles à chacun des trois axes coordonnés. Si A=A', à cette racine double correspondent toutes les directions parallèles au plan des .nj. Enfin, si A=A'=A", à cette racine triple correspondent toutes les directions de l’espace; il y a ici indétermination absolue; car les équations (16) deviennent alors des identités.

Ainsi, en résumé, l'équation du troisième degré en H a toujours ses trdis racines réelles. A une racine simple correspond une direction déterminée; à une racine double toutes tes directions d’un plan ; à une racine triple toutes celles de l’espace.

4##— Soient (», a' , a''), (8, tj! , fi'') les cosinus des angles que font avec les axes des coordonnées les directions qui correspondent a deux racines différentes S et tf. Un a, en vertu des équations (10),

HO GEOMETK1E ANALYTlUUE.

I A«+B"«’4-B'a"=So., , A p -f-B'6'-f B' p» = sp ,

J B”«+AV+Ba"=S*'j ! B"8+A'p'+Bp'' = S'P',

I B'a+Ba' +A"«t"=S»",' | B' p +B p' +A'’P' =S'p'.

Multiplions les premières équations respectivement par

p, p', p", les secondes par a, a1, a". et de la somme des premières retranchons celle des secondes ; il vient (S — S,)(«8-(-<*/p,-|-*//p//) =0 , ou

ap+a/p,+a"p'/=0.

Donc les directions qui correspondent à deux racines différentes sont perpendiculaires entre elles.

II en résulte que les directions qui correspondent a une racine double sont toutes perpendiculaires à celle qui correspond à la troisième racine.