C«+CV+C

l’équation (15) devient une identité, et la position du plan principal est indéterminée; tout plan perpendiculaire à la direction des cordes est un plan principal. Dans ce cas, la surface est cylindrique.

D’après l’équation (11), si une racine S est nulle, les cordes ne rencontrent la surface qu’en un seul point.

Il est bon d’observer que l’équation en S a toujours au moins une racine différente de zéro; car les trois racines ne sont égales que si l’on a B=B'=B",=0; alors ces racines, étant égales à A, A', A", ne sont pas toutes trois nulles, sans quoi l’équation proposée ne serait pas du second degré. On peut d’ailleurs démontrer cette propriété de l’équation (18), indé-

1.1V. VI, CHAP. II.— RÉD. DE L’ÉQ. DD SECOND DEGRÉ. M pendamment de l'étude que nous en avons faite ; en effet, si les trois racines étaient nulles, on aurait, en égalant à zéro les coefficients de S* et de S,

AA/+A/A''-t-A/,A — B* — B's — B'^nrO ; si du carré de la première, on retranche le double de la seconde, on a

d’où

A=A'=A"=B=B,=Bl'=0.

On conclut de là que toute surface de second degré a au moins un plan principal.

48$ — Nous avons vu que, si l’on fait abstraction des cylindres, l’équation du second degré peut être ramenée à l'une des deux formes

(«) M.r*+Ny*+PsM-F, = 0,

(P) Ny‘+P;*+Q*=0;

la première convient aux surfaces qui ont un centre unique, la seconde à celles qui sont dépourvues de centre. Si le plan diamétral qui a servi à effectuer la réduction est un plan principal, comme on peut effectuer les réductions ultérieures en prenant dans le plan principal deux axes rectangulaires, l’équation de la surface sera ramenée à l’une des deux formes («) et (p) en coordonnées rectangulaires.