CHAPITRE II

Réduction de l'Équation du «ccond degré.

Dans le chapitre précédent, nous avons vu que l’équation du second degré peut se ramener à l’une des formes simples Mx,+Ni/,+P3,+R=0, Ny*+Pz’+Qx=0,

Ny’+Pz’+R =0,

P;*-fQx=() .

Pz’-t-It =0,

en coordonnées rectangulaires. Il nous reste à indiquer un moyen pratique d'effectuer cette réduction.

i" cas. D^O.

480— On commence par transporter les axes parallèlement à eux-mêmes au centre de la surface; l’équation générale du second degré

(!) Ai<4-A'ÿH-A"ï,+2B#»+3B's*+*B"47/-f-tC«-f-tC.lï+SC"î+K=0,

devient

(2) Ax,+Ay+AV+2Bys+2B,za!+2B"a-y-l-F1=0; les coefficients des termes du second degré ne changent pas, et nous avons appris à calculer la constante F, (n° 473).

Supposons d’abord les trois racines de l’équation du troisième degré en S différentes entre elles et désignons-les par S, S', S”; soient de plus (*, a"), (fi, 6', p"), (y, /) les cosinus des

angles que font avec les axes les directions qui correspondent à ces trois racines. Si l’on change les axes des coordonnées en prenant ces trois directions pour celles des nouveaux axes, les formules de transformation sont

I x=«.T'-f-py/ +tz',

(3) y = «'ay+P'y'-(-TV,

I *=»V-HV+T*',

et l'équation de la surface aura la forme

Mx/,-FN’y'1+Px',+F,=ü,

puisqu’elle ne doit plus contenir les produits des variables. Mais on a

M=A*M-AV*+AV'*-|-2B«V,+2BV'«+2B'W, c’est-à-dire M = S (n° 480). Par la même raison on a N=S' et P=S". Ainsi, dans ce cas, l’équation réduite est

(4) Sar' ’+Sy *-j-F, = 0.

400 — 11 est facile de vérifier que les coefficients des rectangles des variables dans la nouvelle équation sont nuis. Prenons par exemple le coefficient B,'' du terme en æ'y. Ce coefficient est

LIV. VI, r.llAl*. Il— RÉD. DE L’ÉQ. DF SECOND DEGRÉ. U'f Or on a

Si l’on multiplie ces équations respectivement par t, y, y et que l’on ajoute, il vient

b,"=s'(Py+pY+P"y")-

Les deux directions (S, fl', fl"), (y, y', y”) étant rectangulaires, on en conclut que B1"=0. On verrait de même que B,=B1'=0.

491— Lorsque deux racines de l’équation du troisième degré sont égales , à la racine double correspondent une infinité de directions comprises dans un même plan; si l’on prend pour nouveaux axes deux droites rectangulaires comprises dans ce plan et la perpendiculaire au plan, la méthode précédente est applicable et l'on obtient l’équation S(*'*+y'«)+SV,+F, = 0,

qui représente une surface de révolution autour de l’axe 07J. Enfin, si les trois racines sont égales, en prenant trois nouveaux axes quelconques rectangulaires entre eux, l’équation est toujours

S(^*+y',+*',)+F,=0, elle ne peut représenter qu’une sphère.

2* cas. D=0.

499 — Dans ce cas, commençons par changer la direction des axes, en prenant pour nouveaux axes les directions qui correspondent aux racines de l’équation du troisième degré, ou , si cette équation a des racines égales, un des systèmes en nombre infini de trois directions rectangulaires déterminées par ces racines. On démontre, comme on l’a fait algébriquement dans Je cas précédent, que B, = B,'=B1''=0 ; les coefficients des carrés des variables ont encore pour valeurs S, S', S". Si donc une seule racine S est nulle et que l’on prenne pour axe OX' la direction déterminée par cette racine, l’équation de la surface est

Ut GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

sy *+S"z' *+2C,x'+2Giy +2C/'s'+F =0.

Les coefücients C, , C/, C," ont pour valeurs C, = C«+CV+C"«",

C1'=Cp+C'p'+C"P,'>

c/^cr+cy-t-cv-

En déplaçant les axes parallèlement à eux-mêmes, on ramène l’équation précédente à la forme

S'y ’+ S11 z >+20,0; = 0 , si C, est différent de zéro, et à la forme

S'y‘+S/'*M-Flf=0,

si C, est nul. Le coefficient C, qui subsiste dans l’équation réduite est celui qui correspond à la racine simple S=0.

493 — Si deux racines S et S' sont égales à zéro, par la première transformation l’équation devient

SV+2Clx' + 2C.y+2C1/'a'+F=0.

Nous avons vu que les relations qui existent entre les trois cosinus de l’une des directions qui correspondent à la racine double S=0 se réduisent à deux. Pour déterminer l’une de ces directions, on peut joindre à ces deux équations une troisième prise à volonté ; nous prendrons

C p -j- C’ p' -fC" p" = 0 ;

de cette manière on aura C,' = 0. L’autre direction sera ensuite complètement déterminée, ainsi que le coefficient C,. Gela posé, en déplaçant les axes parallèlement à eux-mêmes, on ramènera l’équation à la forme

S"s’+2C,;r=0, si C, est différent de zéro, et à la forme S"sJ + R = 0,

si G, est nul.