LIV. VI, CHAP. IV.— DES HYPEKBOLOIDES. i

ZOE, a pour trace, sur le plan de l’ellipse de gorge, la tangente ST à cette ellipse ; ce plan coupe l’hyperboloïde suivant deux droites

qui se projettent sur le plan de l’el- Fîc-S6t. lipse de gorge suivant la tangente

ST. Ainsi, toute tangente à l’ellipse de gorge est la projection de deux droites situées sur iht/perboloïde.

Le cône asymptote a pour équation x * , y' x'

il est coupé par le plan x=0 suivant deux droites OG,, OH, , qui ont pour équation

ïl

et qui sont respectivement parallèles aux deux droites DG, D1I situées sur l’hyperboloïde. Les deux axes des coordonnées OEetOZ étant rectangulaires, il résulte de ce qui précède que les deux droites DG, DH font des angles égaux avec le plan de l’ellipse de gorge, ou avec la parallèle à l’axe OZ menée par le point D ; si l’on appelle y ce dernier angle, on a

long y =-•

525— Imaginons maintenant que le point D parcoure l’ellipse de gorge dans le sens AB ; toutes les droites, dont les parties supérieures au pian de l’ellipse de gorge font avec les tangentes prises dans le sens du mouvement des angles aigus, formeront un premier système; toutes celles, dont les parties supérieures font avec cette môme tangente des angles obtus, formeront un second système. Ainsi, la droite DG appartient au premier système, la droite DH au second. 11 est clair que ces deux systèmes, tels que nous venons de les définir, comprennent toutes les droites situées sur la surface; nous

remarquons d’abord qu’une droite quelconque située sur la surface n’est pas parallèle au plan de l’ellipse de gorge, puisque les sections parallèles à ce plan sont des ellipses ; cette droite percera donc le plan en un point D de l'ellipse; or, par le point D, passent seulement deux droites DG, DH, appartenant, l’une au premier système, l’autre au second ; la droite considérée coïncidera donc avec l’une de ces deux droites.

Si, en même temps que le point D se meut sur l’ellipse,

l’angle y varie d’après la formule tang-t = -, la droite DG

coïncidera successivement avec toutes les droites du premier système, la droite DH avec toutes celles du second système. Il est visible que chacune d'elles engendre la surface entière de l’hyperboloïde. Ainsi l’hyperboloïde à une nappe est une surface réglée, qui peut être engendrée de deux manières par le mouvement d’une ligne droite. Voilà pourquoi les droites de chaque système ont été appelées les génératrices rectilignes de l’hvperboloïdc.

H est bon de se rendre compte de la variation de l’angle y. Cet angle acquiert sa valeur minimum quand la droite passe par l'un des sommets A du grand axe de l’ellipse de gorge, et sa valeur maximum, quand elle passe par l’un des sommets lt du petit axe. Le point D allant de A en B, l'angle y croît de sa valeur minimum à sa valeur maximum; cet angle décroît ensuite pour croître de nouveau, etc. Lorsque a=b, c’est-àdire lorsque l’ellipse de gorge devient un cercle, l’angle y est constant, et la surface est engendrée par chacune des deux droites I)G, DH tournant autour de l'axe OZ et liée invariablement à cet axe; c’est l’hyperboloïde de révolution à une nappe que nous avons déjà considéré comme exemple des surfaces de révolution (n°454).

520— Chacune des droites mobiles engendrant la surface entière, il est clair que les deux droites qui passent par un point quelconque de la surface appartiennent , l'une au premier système de génératrices , l'autre au second système. On