LIV. VI, CHAP. IV.— UES HYPERBUL01DES

Lorsqu’un plan BOD, mené par l’axe OB, coupe la surface suivant une ellipse, l’un des axes de l’ellipse est OB, l’autre la trace OU du plan sécant sur le plan XOZ; mais la longueur de OU est plus grande que OA ; pour que OU soit égal à OB, il est nécessaire que OB soit plus grand que OA. Ainsi, le plan sécant passera par le plus grand axe de l’ellipse de gorge. Du point O comme centre, avec OB pour rayon, décrivons dans le plan XOZ un cercle qui coupe l'hyperbole en deux points D, iy ; les deux plans BOD, BOD/ couperont l’hyperboloïde suivant des cercles.

Deux séries de plans parallèles à ces deux plans couperont suivant des cercles l'hyperboloïde proposé, le cône asymptote et l’hyperboloïde conjugué. Lorsque la surface est de révolution, les deux séries de sections circulaires se confondent et deviennent perpendiculaires à l’axe de rotation.

SECTIONS ANTIl'ARALLÉLES DU CÔNE CIRCULAIRE OBLIQUE.

519 — Il résulte de ce qui précède que tout cône du second degré peut être considéré comme un cône droit ou oblique à base circulaire. Lorsque le cône est oblique, il existe une seconde série de sections circulaires qu'il est facile de trouver géométriquement. Soit S le sommet d’un cône oblique ayant pour base le cercle AB ; par la d roite SO qui va du sommet au centre O de la base, menons un plan ASB perpendiculaire au plan de la base; tout plan parallèle à la base coupant le cône suivant un cercle qui a pour diamètre la trace du plan sécant sur le plan ASB, il en résulte que ce plan ASB divise le cône en deux parties symétriques; c’est donc un plan principal et

Fig. 259.

l’ensemble des deux droites SA et SB est la section principale correspondante. La bissectrice de l’angle ASB est Taxe intérieur du cône, la bissectrice de l’angle supplémentaire est un second axe, une perpendiculaire menée par le sommet S au plan principal ASB est le troisième axe. On connaît ainsi les trois axes et les trois plans principaux du cône. Dans le plan principal ASB menons la ligne B' A' antiparallèle à AB, c’està-dire telle que l’angle SA'B' soit égal à SAB ; puis, par la droite A'B', faisons passer un plan perpendiculaire au plan principal ASB; la section du cône par ce plan sera un cercle B’HA'. En effet, par un point quelconque H de la courbe B'HA' menons un plan parallèle à la base; ce plan coupe le cône suivant un cercle, et le plan B'HA' suivant une ligne HI perpendiculaire à la section principale. Dans le cercle DDE on a

HÎ^DIXIE.

D’autre part, les triangles semblables DIB', El A' donnent DlXlE=B'IxIA';

donc

ÎÏÏ’=B'IXIA',

et par conséquent le point H est un point du cercle décrit sur B' A' comme diamètre. Les sections parallèles à B'HA' sonl dites antiparallèles à la base .

GÉNÉRATRICES RECTILIGNES DE l’HYPERBOLOÏDE A CNE NAPPE.

5*0 — Nous avons vu (nn 410), que lorsqu’une droite a plus de deux points situés sur une surface du second ordre, elle est tout entière située sur la surface. D'après cela, on comprend qu’il est impossible de placer sur un ellipsoïde une portion de droite, si petite qu’elle soit. Car, si cetle portion de droite avait seulement trois points communs avec la surface, la droite indéfinie serait située tout entière sur la surface, et il est évident qu'une droite indéfinie ne peut appartenir à une surface limitée comme l'ellipsoïde. Il est impossible aussi de placer une droite sur l’byperboloïde à deux nappes; nous remarquons d’abord que cette droite ne peut être parallèle au plan de l’ellipse de gorge, puisque toutes les sections parallèles à ce plan sont

LIV. VI, CHAP. IV.— DES HYPERBOLOIDES. 46, des ellipses. La droile irait donc d’une nappe à l’autre , et il y aurait une portion intermédiaire qui n’appartiendrait pas à la surface. La même impossibilité n’existe pas pour i’hyperboloïde à une nappe. Nous avons déjà reconnu, en étudiant les sections planes (n° 513), que, lorsque le plan sécant, mené par un point de la surface, est parallèle au plan diamétral conjugué du diamètre qui passe en ce point, la section se réduit à deux droites; il en résulte que, par tout point de la surface passent deux droites situées tout entières sur la surface. Nous allons étudier les propriétés des droites situées sur l’hvperboloïde à une nappe; mais nous reprendrons d'abord la démonstration du théorème fondamental.

521 — Soit M un point quelconque de la surface; prenons pour axe des x le diamètre qui passe en ce point, et pour axes des y et des ; deux diamètres conjugués de la section diamétrale correspondante ; l’équatiou de l’hyperboloïde prendra la forme

--L.il —11—1

an 6” c'1 ~~ *

En coupant la surface par le plan x—a', on a deux droites

if 3*

Ainsi, par tout point M de la surface passent deux droites situées sur la surface.

522 — Dans le même système de coordonnées , le cône

asymptote a pour équation

si l’on coupe le cône par le plan ir=0, on a les deux arêtes b" & 1

Elles sont respectivement parallèles aux deux droites déterminées par le plan x=a' sur la surface de l’hyperboloïde. Ainsi, les droites situées sur l'hi/perboloïde sont respectivement parallèles aux arêtes du cône as/pnptote.

Si l’on coupe la surface par le plan x=— a', on a deux droites parallèles aux précédentes; ainsi les droites qui passent par deux points M et M', symétriques par rapport au centre, sont respectivement parallèles entre elles, et aux mêmes arêtes du cône asymptote.

523 — Remarque. Nous avons déjà fait observer (n°474) que les tangentes à toutes les courbes tracées par un même point sur une surface du second degré sont situées dans le même plan ; il n’y a d’exception que pour le sommet du cône. Par le point M passent deux droites situées sur la surface; le plan de ces deux droites est le plan tangent, il en résulte que par le point M il ne passe pas une troisième droite située sur la surface; car, s’il y en avait une troisième, elle serait aussi contenue dans le plan tangent x—a ; or, ce plan ne coupe la surface que suivant deux droites.

Nous ferons remarquer aussi que la surface est coupée par le plan tangent; une partie est située d’un côté de ce plan, l’autre partie de l’autre côté.

524 — Nous allons faire voir que les droites situées sur l’hyperboloïde peuvent être distinguées en deux séries, dont chacune constitue toute la surface. On opère commodément cette distinction, et l’on se rend bien compte de la position des droites, à l’aide de l’ellipse de gorge.

Puisque par tout point de la surface passent deux droites, il est clair que, par tout point D de l’ellipse de gorge, passent deux droites DG, DH situées sur la surface (fig. 261).

Si, conservant pour axe des s l’axe imaginaire de la surface, on prend pour axe des x le diamètre OD de l’ellipse de gorge, et pour axe des y le diamètre conjugué OE, l’hyperboloïde a pour équation

Le plan x=a', mené par le point D parallèlement au plan