LIV. VI, CHAI». IV.— DES HYPERBOLOIDES

de l’ellipse de gorge. Dans ce cas, les deux plans projetants sont parallèles ; un plan parallèle mené par le centre coupera le cône suivant deux arêtes 0G„ OH,; il est clair que les deux génératrices DG, D'H' sont parallèles à la même arête

OG, du cône asymptote, et, par conséquent, sont parallèles entre elles. 11 résulte de ce qui précède que deux génératrices de systèmes différents se rencontrent ou sont parallèles, c’est*àdir sont toujours dans un mime plan.

589 — Considérons maintenant deux génératrices DG, EK du même système. Les plans projetants de ces deux droites se coupent suivant la droite MM' perpendiculaire au plan de l’ellipse de gorge. La droite DG, faisant avec sa projection Dm un angle aigu, rencontre la droite MM' au-dessus du plan de l’ellipse de gorge ; la droite EK, faisant avec le prolongement de mE un angle aigu, rencontre cette même droite au-dessous du plan; le plan DMM' qui contient la première droite DG et un point M' de la seconde , ne contient pas cette seconde droite; ainsi les deux droites ne sont pas dans un même plan.

Il peut arriver que les projections soient parallèles ; soient les deux droites DG, D'G' du même système, passant par deux points diamétralement opposés de l’ellipse de gorge; ces deux droites sont parallèles respectivement aux deux arêtes OG,,

OH, du cône asymptote ; le plan CDD', qui contient la première et un point iy de la seconde, ne contient pas cette seconde droite; ainsi les deux droites ne sont pas dans un même plan. On conclut de là que deux génératrices du même système ne sont jamais dans un même plan.

530— Chaque arête OÇ, du cône asymptote est parallèle à deux génératrices DG, D'H' de systèmes différents ; on les obtiendrait de cette manière : soit OF la trace sur le plan de l’ellipse de gorge du plan ZOG, ; menons le diamètre DIE conjugué de OF; les tangentes en D et iy étant parallèles à OF, les plans tangents GDH, G'iyH' en ces points sont parallèles au plan ZOG, qui coupe le cône suivant deux arêtes 0G„ OH,; les deux génératrices DG, D'H' de systèmes différents sont paral-

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE, lèlcs à OG,; les deux autres génératrices 1)H, D'G' sont parallèles à OH,. 11 est impossible qu'une troisième génératrice de l’hyperboloïde soit parallèle à l'arête OG,; car si trois génératrices de l’byperboloïde étaient parallèles à une même arête du cône, deux appartiendraient au même système et seraient parallèles entre elles, ce qui ne peut pas être-

Le plan des deux génératrices parallèles DG, D'H' est tangent au cône asymptote suivant l’arête OG,. Car ce plan contient la droite OG, , et il ne peut couper le cône suivant une autre droite, puisque la section est du genre parabole.

Remarquons encore que trois génératrices du même système ne peuvent être parallèles à un même plan; car, en menant par le cenlre des parallèles à ces génératrices, on aurait trois arêtes différentes du cône asymptote situées dans le même plan, ce qui est impossible.

531 — Ce qui précède nous permet de distinguer les deux systèmes de génératrices par un autre procédé. Soit DI1 une droite quelconque située sur la surface, toutes les droites telles que DG, EK, .... qui rencontrent cette droite fixe, avec une droite D'G' qui lui est parallèle, constituent l’un des systèmes, par exemple, le premier système. Toutes les autres constituent le second système.

538— Nous savons qu'il faut trois directrices pour définir le mouvement d’une ligne droite. Prenons comme directrices trois droites fix^ s A, B, C appartenant au second système, et supposons qu’une droite mobile glisse sur ces trois directrices; si, par un point quelconque M de la droite A et chacune des droites B etC, on fait passer un plan, l’intersection de ces deux plans déterminera la position du la droite mobile qui passe en ce point; la droite mobile coïncidant ainsi successivement avec toutes les droites du premier système, engendrera l’hyperboloïde à une nappe. De même, une droite mobile, glissant sur trois droites fixes, appartenant au premier système, engendrera l’hyperboloïde. 11 résulte de là que l’on peut engen-

LIV. VI, CHAP. IV. -DES H YPERBOLO I DES. 475 drer un Iiyperboloïde à une nappe, en faisant glisser une droite mobile sur trois droites fixes.

533— Nous allons faire voir, que, réciproquement une droite mobile qui glisse sur trois droites fixes quelconques, non parallèles à un même plan , engendre un byperboloïde. Soient AB, CD, EF les trois directrices données. Si par chacune d’elles on fait passer un plan parallèle à l’une des deux autres, on a six plans qui forment un parallélipipède; prenons pour origine le centre du parallélipipède et pour axes des coordonnées des parallèles aux arêtes, dont nous désignerons les longueurs par 2 a, 2b, 2c. Les équations des trois directrices sont, pour la disposition adoptée dans la figure 265,

AB

Représentons les équations de la génératrice mobile MP par

(t) <r=ms+ p, y=nz+q.

Pour que cette droite rencontre les trois directrices, il faut que les quatre paramètres variables m, n, p, q vérifient les trois équations de condition

Ip=a + mc ,

9=6 nc>

î±L+tzl = 0

Si l’on remplace p et g par leurs valeurs tirées des deux premières équations de condition, les deux équations des génératrices deviennent

(3) x— a = m {ï-f c), y+b = n (z — c) , et la troisième équation de condition se réduit à

On obtient l’équation du lieu en éliminant m et n entre les équations (3) et (A), ce qui donne

(5) ayz+hzx+cxy-\-abc=0.

Le lieu est une surface du second degré ayant un centre unique ; ce n’est pas un cône, puisqu’elle ne passe pas par le centre; c’est donc un hyperboloïde à une nappe.

Les trois directrices appartenant à la surface, les trois axes des coordonnées sont des arêtes du cône asymptote ; on peut remarquer que les trois arêtes AC, DE, BF qui, dans le parallélipipède, sont parallèles et opposées aux directrices, appartiennent aussi à la surface; par exemple, la droite AC, qui rencontre les deux directrices AB et CD, et qui est parallèle à EF, est une position particulière de la génératrice, et, par conséquent, appartient à la surface. Il résulte de là que les faces parallèles ABF, CDE du parallélipipède sont tangentes à la surface aux points B et D, et de même les autres. Les trois directrices et les trois arêtes opposées forment un hexagone gauche situé sur la surface.

534 — Étant donné un hyperboloïde aune nappe, soient AB et CD deux droites quelconques du même système (fig. 263); A un point üxe pris à volonté sur la première droite, C le point correspondant de la seconde, c’est-à-dire le point où cette seconde droite est rencontrée par la génératrice mobile de l’autre système, quand elle passe par le point A. A l'aide de la droite EF du premier système qui est parallèle à AC, on peut former le parallélipipède considéré précédemment. La génératrice mobile, dans une quelconque de ses positions , rencontre les deux droites fixes en M et N; elle a décrit sur ces deux droites, à partir de sa position initiale AC, des longueurs AM et CN que nous désignerons par « et p, en les affectant du signe +, quand elles sont portées dans les directions AB ou CD, et du signe — , quand elles sont portées dans les directions contraires. Si l’on projette la droite MNP sur le plan ABF, parallèlement à la