LIV. VI, CHAP. IV.— DES HYPERBOLOIDES

droite EF, la longueur CN se projettera en vraie grandeur suivant AN'. En prenant pour axes des coordonnées, les droites AB et AD' et en écrivant que la droite mobile MN' tourne autour du point fixe F, on a la relation

Réciproquement, lorsqu’une droite mobile MN décrit sur deux droites fixes AB, CD, à partir d’une position initiale, des longueurs qui vérifient la relation (6), cette droite engendre un hyperboloïde à une nappe. En effet, soit AC la position initiale de la génératrice; par le point A, menons une parallèle AD' à la droite CD, formons le parallélogramme AD'FR, dont les côtés AB et AD' sont égaux à 2a et à 26, et par le point F, menons une parallèle FE à la droite AC ; si l’on prend AB et AIV pour axes des coordonnées dans le plan du parallélogramme, l’équation (6) signifie que la droite MN', projection de la droite MN sur le plan du parallélogramme, parallèlement à AC, passe constamment par le point F ; donc la droite MN rencontre la droite EF. Celte droite, glissant sur trois droites fixes AB, CD, EF, engendre un hyperboloïde à une nappe.

53 5 — Nous avons dit que l’hyperboloïde à une nappe admet deux systèmes de génératrices rectilignes. Il est facile de déduire de l’équation de la surface celles de ces deux systèmes de droites. Reprenons l’équation de l’hyperboloïde rapporté à ses axes,

et écrivons cette équation sous la forme

chacun des membres, étant la différence de deux carrés, peut être décomposé en facteurs du premier degré, et l’équation devient

br. ’ 3t

<«G-ï)(NM-ï)(‘+î>

Considérons les deux équations du premier degré

dans lesquelles le paramètre X est arbitraire. Pour chaque valeur de X, ces équations représentent une droite. Or, si l'on multiplie ces deux équations membre à membre, on retrouve l'équation (1) ; il en résulte que les équations (X) représentent un système de droites situées sur la surface.

Si l’on combine autrement les facteurs, on obtient deux autres équations du premier degré

renfermant un paramètre arbitraire fx, et qui représentent un second système de droites situées sur la surface.

On peut attribuer aux paramètres X et jx des valeurs nulles

ou infinies. Si l’on pose X=”t> les équations (t) prennent la

forme

on fera dans ces équations m = 0 ou n=0.

536 — Il est clair que, par tout point de la surface, passent deux droites, une de chaque système. En effet, soit M un point dont les coordonnées •r', y1, z' vérifient l’équation (I);