CHANGEMENT DE LA DIRECTION DES AXES

Supposons maintenant que l’on change la direction des axes en conservant la môme origine. Nous traiterons d’abord un cas particulier qui se présente souvent dans la pratique, celui où les axes des deux systèmes sont rectangulaires.

Imaginons que l'on change la direction des axes en faisant tourner l’angle \ j |\ ^ droit XO Y (fig. 28) d’un certain angle

3 autour de l’origine pour l’amener dans la position X'OY', et considérons l’angle o comme positif, si la rotation s’effectue de OX vers OY, et comme négatif, si la rotation s’exécute en sens inverse.

Par un point quelconque M du plan menons des parallèles MP et MP aux axes OY et OY”, désignons par x et y les coordonnées du point M par rapport aux premiers axes, et par x! et rf les coordonnées du même point par rapport aux nouveaux axes. Les projections des deux chemins OPM, OP'M sur un axe quelconque sont égales. Projetons d’abord sur l’axe OX; la projection de la longueur OP est cette longueur elle-même, prise avec le signe + ou le signe —, suivant qu’elle est portée dans la direction OX, on dans la direction opposée; c’est dans tous les cas l’abscisse x\ PM étant perpendiculaire sur OX , sa projection est nulle; la projection du premier chemin se réduit donc à x. Projetons maintenant le chemin OP'M ; et d’abord projetons le premier côté OP ; si la longueur OP' est portée sur OX’, il faut la multiplier par eus a, ce qui donne la projection OP’ x cos a ; si cette longueur est portée en sens inverse, il faut la multiplier par cos (a -|- it), ce qui donne OP' X cos (i -f- it) ou —OP' x cos a; mais, dans le premier cas, onaf^ OP ; dans le second cas, x' = — OP'; ainsi la projection du côté OP' est toujours exprimée par x/ cos a. Considérons le second côté P'M; s’il est dirigé dans le sens

OY'. il fait avec OX'

l’angle « -f —

et sa projection est

P'Mxco* K) ; s’il est dirigé en sens inverse, il fait avec

OX l’angle * -f ^ et sa projection est— P'M x cos

mais on a, dans le premier cas, y'=P'M, dans le second cas, y' — — P M ; ainsi, la projection de P'M est toujours exprimée

par y' cos de sorte que le chemin OP'M a pou r projection

x' cos a + !/' cos (“+0>

OU

a;' cos a — y' sin a.

En égalant les projections des deux chemins OPM, OP M, on obtient l’équation

x—x'cosa — y' sin *.

Projetons ensuite sur l’axe OY. La projection de OP est nulle : celle de PM, prise avec le signe convenable, est .y; ainsi la projection du premier chemin se réduit à y. Les deux directions OX' et OY' font avec OY les angles

— - + a et a,

ce qui donne pour la projection du second chemin

x’ cos

+ V’COS a,

ou

x' sin a -f y' cos a,

et l’on a l’équation

y —x! sin a + y cos a.

On obtient ainsi les formules

X=X' COS a — y stria,

y=x' sin a y' COS a , qui servent à passer des anciennes coordonnées aux nouvelles.

51 — Occupons-nous maintenant de la question générale. Soient OX et OY deux axes quelconques faisant entre eux un