LIV. I, CHAP. IV.— TRANSF. DES COORDONNÉES
angle 8, OX' et OY' deux nouveaux axes dont on définit la direction j>ar les angles a et p qu’ils font avec OX (fig. 29); on k • convient de regarder les angles « et
p comme positifs, s’ils sont comptés en tournant de OX versOY, et comme négatifs en sens coutraire. Par un v point M quelconque du plan menons lesdroitesMP et MP' respectivement parallèles aux axes OY et OY'. Pour avoir x, nous projellerous les deux chemins ii OPM, OP'M sur une direction OH perr<g. »». pendiculaire à OY, et obtenue en
tournant d'un angle droit de OY vcrsOX; la direction OX
faisant avec OII l’angle — 8, et la direction OY étant perpendiculaire à OH, la projection du premier chemin se réduit a x sin 6. La direction OX' fait avec OH un angle égal à l’angle
HOX, augmenté de l'angle XOX', ce qui fait — 6^ + «; de
même, la direction OY’ fait avec OH un angle égal àQ — 9^+p; on a donc pour la projection du second chemin
x' cos (.j~ 0 + “)+ y'cos (i— 0 + p)>
x'sm(û — ») -f- ÿ'sm(9 — p), ce qui donne l’équation
x sin 8=x' sin (0 — a) + </ sin (8 — p).
Pour avoir y, projetons les deux chemins OPM, OP'M sur line direction OK perpendiculaire à OX, et obtenue en tournant d un angle droit de OX vers OY. La direction OX étant perpendiculaire à OK et la direction OY faisant avec celle droite
l'angle — ~ -f 0, la projection du premier chemin se réduit à
y sin 8. Les angles que les directions OX’ et OY' font avec OK
sont égaux aux angles qu'elles font avec OX, diminués de -,
ce qui donne — ■- + “ > et
+ p; la projection du second
chemin est donc
ou
X1 cos ^ ^ + y'rosÇ— ^ + p).
x' sin a 4-y'sin P,
et l’on a l’équalion
y $inQ=x’ sin a-f-y'sinp.
On obtient ainsi les deux formules
Æ'sinfa— a)+ y' sin (9— P) sin 9
x sina+y'sinp
JfnO ’
pour la transformation des coordonnées obliques en d'autres coordonnées obliques.
On en déduit facilement des formules servant à revenir des nouveaux axes aux anciens. L’angle des nouveaux axes est p — a ; les axes OX et OY font avec OX' les angles —a et 9 — a ; il suffit donc, dans les formules précédentes, de remplacer 9 par p — a, « par — a, p par 9 — à, ce qui donne
g sin p -f y sin (p— 9) sin (p — a)
— x sin a + y sin (9— a) sin (p — a)
&2 — On déduit de ces formules générales quelques formules particulières qu’il est bon de connaître.
t« Cas où les axes primitifs sont rectangulaires. Dans ce cas
on a 0=-^, et les formules (4) se réduisent à
x—x cos a-fycosp, y = x’ sin a + y' sin p.
2" Cas un les nouveaux axes sont rectangulaires. Supposons
p=a + les formules (41 deviennent
UV.l, CHAP. IV.— TRANSF. DES COORDONNÉES.
x'sin (9 — i) — y’ cos (9 — a)
: sôTô ’
Æ’sma-j-ycosa tin 9
On pourrai! supposer aussi 8=«— ce qui revient à chan-
ger le sens de l’axe OY', et par conséquent le signe de y* dans les formules (7).
3» Cas où les deux systèmes d’axes sont rectangulaires. Si dans les formules (6) on suppose p=*+^, on obtient les formules (3) déjà trouvées,
ix=x cos a — y sinn.
y—x’ sin« + ÿcos*.
On les obtiendrait aussi en supposant dans les formules (7)
