CHAPITRE Y

Des PnraboloVdea.

Les surfaces du second degré dépourvues de centre sont représentées par l’équation

S'y»+S,,ï*+Pa;=0.

Cette seconde classe se subdivise en deux genres, suivant que les coefficients S', S'' ont le même signe ou des signes contraires.

PAHABOLOÏDE ELLIPTIQUE.

539 — Considérons le cas où les deux racines S' et S" ont le même signe, par exemple le signe +. On peut supposer P

négatif. Si l’on pose

l’équation devient

2p 2 q La surface passe à l’origine j les sections faites par les plans principaux YOX, ZOX sont deux paraboles P et Q, qui ont pour axe com-

Coupons la surface par des plans perpendiculaires à la droite OX. Pour oj=0 , la section se réduit au point 0; en attribuant à x des valeurs positives de plus en plus grandes.

iS-1 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE,

on obtient des ellipses homothétiques qui ont leur centre sur la droite OX et qui augmentent indétiniment. Les plans situés à gauche du plan YOZ ne coupent pas la surface. Ainsi, la surface se compose d’une nappe indéfinie située tout entière à droite du plan YOZ; on lui a donné le nom de paraboloide elliptique. La droite OX est un a.re de la surface; le point 0 en est le sommet.

Les sections par des plans parallèles au plan principal XOY sont des paraboles égales à la parabole P, et qui ont leurs sommets sur la parabole Q et leurs axes parallèles à OX. Il en résulte que l’on peut regarder la surface comme engendrée par la parabole P qui se meut parallèlement à elle-même, son sommet décrivant la parabole Q. De môme, les sections par des plans parallèles au plan principal XOZ sont des paraboles égales à la parabole Q, et l’on peut regarder la surface comme engendrée par la parabole Q se mouvant parallèlement à ellemême, son sommet décrivant la parabole P.

540 — Les sections de la surface par des plans ' A x + B y -f C z — f ,

non parallèles à l'axe, sont des ellipses ayant pour projections sur le plan YOZ

y' . s* By-C*

On voit, en outre, que les projections sont des ellipses homothétiques entre elles, quelle que soit la direction du plan sécant.

Lorsque le plan sécant

Bî/ + C: = /

est parallèle à l’axe du paraboloide, la section, qui a pour projection sur le plan XOY,;

est une parabole dont l’axe est parallèle à l’axe du paraboloide. Le paramètre de cette parabole étant indépendant de /, il en résulte que des plans parallèles entre eux et parallèles à l’axe coupent la surface suivant des paraboles égales.