LIV. VI, CHAP. V.— DES PARABOLOIDES

541 — Considérons en particulier le cas où p=q; l’équation de la surface devient

ÿ, + :*=2px;

les sections par les plans perpendiculaires à l’axe OX sont des cercles; ainsi, la surface est de révolution; elle est engendrée par la parabole P tournant autour de son axe OX. Les sections par des plans non parallèles à l'axe sont des ellipses qui se projettent sur le plan YOZ suivant des cercles. Les sections par des plans parallèles à l’axe sont des paraboles égales.

PLANS DIAMÉTRAUX.

542— Le plan diamétral conjugué de la droite

a pour équation

c’est un plan parallèle à l’axe. Ce plan coupe la surface suivant une parabole; cette parabole est la courbe de contact du paraboloïde et d’un cylindre circonscrit ayant ses génératrices parallèles à la direction des cordes. Réciproquement tout plan parallèle à l’axe est un plan diamétral.

Lorsque les droites sont parallèles à l'axe, chacune d’elles ne rencontre la surface qu’en un point, et il n’y a plus de plan diamétral. Le plan diamétral s’est éloigné à l’intini.

DIAMÈTRES

543 — La section de la surface par le plan Ax+By + C;=/

a pour projection sur le plan YOZ la courbe déünie par l'équation

y5 s* l — Bÿ — C;

ip + ■>(/ A

Le centre de celte courbe est donné par les deux équations

jointe à l’équation du plan sécant. Ces deux équations, ne renfermant pas le paramètre variable I, représentent le lieu des centres des sections parallèles; ce lieu est une droite parallèle à l’axe. En d’autres termes, les projections des sections parallèles sur le plan YOZ sont des ellipses homothétiques et concentriques. Réciproquement toute droite parallèle à l’axe est un diamètre.

544— Prenons pour origine des coordonnées un point quelconque M de la surface, pour axe des x le diamètre qui passe en ce point, pour plan des xy un plan quelconque mené par la droite MX ; ce plan coupe la surface suivant une parabole; nous prendrons pour axes des y la tangente à la parabole au point M, et pour axe des ; la parallèle menée par le point M à la direction conjuguée du plan XMY. L’équation de la surface, ne contenant pas de terme du premier degré en et devant se réduire à celle d’une parabole rapportée à son diamètre et à la tangente à l’extrémité quand on fait 3=0, sera de la forme

les deux paramètres p' et q1 auront le même signe, par exemple le signe -f, sans quoi les sections par des plans quelconques seraient des hyperboles. On voit par là que le plan XMZ est conjugué de la direction MYr. Les sections faites par des plans parallèles au plan YMZ sont des ellipses rapportées à deux diamètres conjugués.

On peut obtenir d’une autre manière les axes des coordonnées auxquels nous venons de rapporter la surface. Considérons un plan quelconque non parallèle à l’axe du paraboloïde; ce plan coupe la surface suivant une ellipse; par le centre de l’ellipse, menons une parallèle à l’axe jusqu’à la rencontre de la surface, et par ce point, des parallèles à deux diamètres conjugués de l’ellipse; l’équation de la surface se réduira à la forme précédente.