L1V. VI, CHAP.V.— DES PARABOLOIDES

SECTIONS CIRCULAIRES

545 — Considérons un plan coupant la surface suivant un cercle; par le centre C passe un diamètre CX'; le plan mené

pcndiculaire au plan principal XOZ, et la surface rapportée à ses deux plans principaux. Prenons pour nouveaux axes des coordonnées le diamètre MX', la tangente MZ' à la parabole principale, et la perpendiculaire MY' au plan principal; la coordonnée y ne changeant pas dans la transformation des coordonnées, si l’on désigne par 0 l’angle Z'MX', l’équation de la surface deviendra I

■zp z q

Les sections parallèles au plan Y'MZ' étant des cercles, on doit

Le paramètre q étant moindre que p, et l’angle 6 pouvant recevoir deux valeurs supplémentaires, on en conclut que le paruboloïde admet deux séries de sections circulaires qui sont perpendiculaires sur la section principale de moindre paramètre, et également inclinées sur l’autre section principale.

546 — Considérons maintenant le cas où S' et S" sont de signes contraires. Admettons que P ail le même signe que S'' et posons

par ce diamètre perpendiculairement au plan du cercle, divisant ce cercle et tous les cercles parallèles en deux parties symétriques, est un plan principal de la surface. Ainsi, les plans des sections circulaires sont perpendiculaires à l’un des plans principaux.

Fip. 267.

Supposons le plan du cercle per-

PARABOLOIDE HYPERBOLIQUE.

l’équation devient

Les sections faites par les plans principaux XOY, XOZ sont deux paraboles P et Q dont les axes sont dirigés en sens contraires. Le plan ZOY *'«• ï6S- coupe la surface sui-

vant deux droites OA, OB qui font avec OZ un angle dont la

tangente a pour valeur [/ -• Les sections faites par des plans

parallèles à YOZ sont des hyperboles homothétiques entre elles ou à l’hyperbole conjuguée ; si le plan est du côté OX, l’axe réel de l’hyperbole est parallèle à OY ; s’il est de l’autre côté, l’axe réel est parallèle à OZ. ta surface se compose d’une nappe qui s’étend indéfiniment à droite et à gauche du plan YOZ. On lui a donné le nom de parabolo'ide hyperbolique. La droite OX est un axe de la surrace; le point 0 en est le sommet.

Les sections par des plans parallèles au plan principal XOY sont des paraboles égales à la parabole P et ayant leurs sommets sur la parabole Q. De même, les sections par des plans parallèles au plan principal XOZ sont des paraboles égales à la parabole Q et ayant leurs sommets sur la parabole P; de sorte qu’on peut concevoir la surface comme engendrée par une parabole qui se meut parallèlement à elle-inème, son sommet décrivant une autre parabole.