LIV. VI, CHAP. V.— DES PARABOLOIDES

BOX. Les deux droites DII, DG percent le plan principal X07. aux points H et K appartenant à la parabole principale Q, et situés sur la verticale élevée par le point T où la tangente DS rencontre le prolongement de l’axe OX ; les projections HD', KD' de ces deux droites sur le plan principal XOZ sont tangentes à la parabole U, et passent par le point iy projection du point D. Le point D se projette en D" sur le plan YOZ; les points H et K se projettent en H' et K" ; en joignant D//1I/, D"K", on aura les projections D"H', D"G" des deux droites DH, DG sur le plan YOZ. Les points 1) et H appartenant aux paraboles principales, on a DD'’ = 2 p x OD', HT*=2qxOT; les deux longueurs OIV et OT étant égales entre elles, il en résulte

OH' — IIT y

Ainsi, la projection IV'H' de la droite DH sur le plan YOZ conserve une direction constante et reste parallèle à la droite OB du même système. De même, la projection K"D"G" de la droite DG conserve une direction constante et reste parallèle à la droite OA. En d’autres termes, la droite DG du premier système reste parallèle au plan AOX, et la droite DH du second système reste parallèle au plan BOX.

Quand le point D parcourt la parabole principale P en partant du sommet O, l’angle y que font les deux droites DG et DH avec la verticale DZ' augmente de plus en plus, et tend ■vers un angle droit.

554 — Les deux droites DD", HH' étant égales et parallèles, nous remarquons que la figure DD"HH' est un parallélogramme, et, par conséquent, que les diagonales D1I, D''H' se coupent mutuellement en deux parties égales; ainsi le point I, où la génératrice DH perce le plan YOZ, est le milieu de la portion DI1 de cette droite comprise entre les deux plaus principaux; le lieu du point I est la droite OA du premier système.

555— Par chaque point de la surface passent deux droites.

m GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE,

une de chaque système; il est facile de les construire. Soit M un point de la surface que nous supposerons situé au-dessus du plan principal XOY (fig. 270) ; ce point se projette en un point m extérieur à la parabole P; par le point m menons des tangentes mD,mE à la parabole; par le pointée contact D de la première tangente, menons la droite DG du premier système, et, par le point de contact E de la seconde, la droite EL du second système. Les plans projetants GDm, LEm de ccs deux droites se coupent suivant une droite MM' perpendiculaire au plan XOY ; cette perpendiculaire élevée par le point m perce la surface en deux points; l’un est le point M situé au-dessus du plan principal, l’autre le point symétrique M' situé en dessous. La droite DG, faisant avec Dm un angle aigu, rencontre la partie supérieure mM de la droite MM', et elle passe au point M, puisque celle partie supérieure ne rencontre la surface qu’en un point. De même, la droite EL faisant avec le prolongement de mE un angle obtus, ou avec Em un angle aigu, rencontre la partie supérieure mM de la même droite au même point M. Ainsi, par le point M passent les deux droites MD , ME , qui appartiennent, l’une au premier système, l’autre au second.

356 — Soient DG, EL deux génératrices de systèmes différents (flg. 270) ; ces droites se projettent sur le plan principal suivant des tangentes Dm, Em à la parabole principale; ces deux tangentes se coupent en un point m, et les deux plans projetants suivant une droite MM' perpendiculaire au plan principal. Comme nous l’avons expliqué plus haut, les deux droites DG, EL, appartenant à des systèmes différents, rencontrent la perpendiculaire MM' d’un même côté du plan principal, et, par conséquent, se coupent au point M, où cette perpendiculaire perce la surface. Ainsi, deux génératrices de systèmes différents se rencontrent toujours.

Fig. 270.

UV. VI, CHAP. V DES PARAB0L01DES.

557 — Considérons maintenant deux génératrices DG, EK du même système. Ces droites, étant situées dans deux plans respectivement parallèles au même plan directeur, et par conséquent parallèles entre eux, ne peuvent se rencontrer. Elles ne sont pas non plus parallèles ; car leurs projections sur un plan principal ne sont pas parallèles. On conclut de là que deux généralrices du même système ne sont jamais dans le même plan.

Ce qui précède nous permet de distinguer les deux systèmes de génératrices par un autre procédé. Soit DU une droite quelconque située sur la surface ; toutes les droites, telles que DG, EK, qui rencontrent cette droite, constituent l'un des systèmes, par exemple le premier système. Toutes les autres constitueront le second système.

5 S g— Nous savons qu’il faut trois directrices pour définir le mouvement d’une droite. Prenons comme directrices trois droites fixes A, B, C appartenant au second système , et par conséquent parallèles au second plan directeur, et supposons qu’une droite mobile glisse sur ces trois directrices, elle coïncidera successivement avec chacune des droites du premier système, et, par conséquent, engendrera le paraboloïde hyperbolique.

On peut aussi définir le mouvement de la génératrice en l’assujettissant à glisser sur les deux droites fixes À et B et à rester parallèle au premier plan directeur. En effet, si par un point quelconque M de la droite A et par la droite B on fait passer un plan, que par ce même point M on mène un plan parallèle au plan directeur, l’intersection de ces deux plans déterminera la position de la droite mobile qui passe par le point Sl; elle coïncidera donc avec la droite du premier système qui passe par ce point. Il résulte de là que le paraboloïde hyperbolique peut être engendré par une droite mobile qui glisse sur trois droites fixes parallèles à un même plan, ou bien qui glisse sur deux droites fixes en restant constamment parallèle à un même plau.

55t>— Les réciproques sont vraies. Supposons d’abord que la génératrice soit assujettie a glisser sur deux droites fixes OZ et AB'fig.271),en restant parallèle a un môme plan. Prenons pour axe des y une position particulière OA de la génératrice, pour axe des * la directrice OZ, pour plan des xy un plan parallèle au plan directeur, et pour plan des zx un plan parallèle à la droite AB. Cette seconde directrice AB aura pour équations (1) y=a, x=az.

Soit MN une position quelconque de la (i« *71- génératrice; cette droite, étant paral-

lèle au plan XOY et rencontrant l’axe OZ, a des équations de la forme

(i) s=p, y=mx,

avec deux paramètres variables m et p. Pour qu’elle rencontre la seconde directrice AB, il faut que l’équation de condition

soit vérifiée. Si l’on élimine les deux paramètres m et p entre les équations (2) et (3), on obtient l’équation du lieu

(4) a yz—ax,

La surface est du second degré; elle est dépourvue de centre; ce n’est pas un cylindre parabolique, puisque les droites OZ et AB, non parallèles, sont situées sur la surface ; .c’est donc un paraboloïde hyperbolique.

500 — Supposons maintenant que la génératrice soit assujeltiea glisser sur trois droitesflxes AB, OZ,CU(fig. 272) parallèles a un môme plan. Prenons pour axe des z l’une des directrices OZ, pour axe des y une position particulièreACdelagénératricejpar le point de rencontre 0 de ces deux droites, menons des parallèles OG, OH aux deux autres directrices AB, CD; Fi(,-1TÎ- puisque les trois directrices sont

L1V.VI, CHAP.V. — DES PARABOLOIDES. 495 parallèles à un même plan, les trois droites OZ, OG , OH seront situées dans un même plan ; nous prendrons pour axe des x une droite quelconque menée par le point O dans ce plan. Cela posé, la directrice AB est représentée par les équations

M) >J=a, x—az,

et de même la directrice CD par les équations (2) y=a' , x~tx! z.

La génératrice MN, qui rencontre la droite OZ en P, aura des équations de la forme

(3) y —mx , :=nx + p.

La génératrice rencontrant les deux directrices AB, (HJ, on a, entre les trois paramètres m, n, p, les deux relations , a

4) — = ah + mp,

(b) =za'n-\-mp.

En retranchant ces deux relations membre à metnbre , oh trouve

a or

Ceci nous apprend que le paramètre n a une valeur constante; ainsi la projection de la génératrice sur le plan ZOX a une direction constante; si l’on prend l’axe OX parallèle à celle direction, on aura n=0,et les équations de la génératrice se réduiront' à

y—mx, z—p ,

les deux paramètres variables m et p étant liés par la relation amp~ a.

On est ramené au cas précédent; la génératrice MN glisse sur les deux droites OZ, AB, en restant constamment parallèle au plan XOY; elle engendre donc un paraboloïde hypcrlfolique.

561 — Nous ayons trouvé la relation qui existe, dans l’hyperboloïde à une nappe, entre les deux longueurs décrites sur deux droites fixes AB, CD de l’un des systèmes par une droit

mobile de l'autre système. La relation est beaucoup plus simple ii dans le paraboloïde hyperbolique. Soient MN,M' N', M"N" (flg. 273) trois positionsquel- 1$. - conques de la droite mobile ; si par chacune d’elles on mène un plan parallèle au plan directeur, on aura trois plans parallèles . entre eux; or, on sait que trois plans paral-

lèles déterminent sur deux droites AB, CD Fie. *«• des segments proportionnels ; on a donc la relation