NN' NN

Ainsi, dans le paraboloïde hyperbolique, me droite mobile de l’un des systèmes décrit sur deux droites fixes de l’autre système des longueurs proportionnelles.

Réciproquement, lorsqu’une droite mobile glisse sur deux droites tlxes AB, Cl), en décrivant sur ces droites des longueurs proportionnelles, elle engendre un paraboloïde hyperbolique. Soient MN, M’N' deux positions particulières de la génératrice; concevons le plan parallèle à ces deux droites. Soit maintenant M"N" une position quelconque de la génératrice ; on a lu relation

MJH” MM'

NN" — îW ’

Si par chacune des deux droites MN, MW on mène un plan parallèle au plan défini précédemment, et que par le point M on mène un plan parallèle au même plan, on aura trois plans parallèles qui déterminent sur les deux droites AB, Cl) des segments proportionnels; le plan mené par le point M" passera donc par le point N" et contiendra la droite M"N" ; on en conclut que la génératrice pnobile M"N" reste constamment parallèle à un même plan ; elle engendre donc un paraboloïde hyperbolique.

— C'est d’après cette propriété remarquable que Tou construit des modèles en lit représentant le paraboloïde hyper-

LIV. VI, CHAI*. V.— DES PARABOLOIDES. 4D7 l«olii|iie. Imaginons que l’on ait fait un cadre en bois ACDB, ayant la forme d’un quadrilatère gauche; si l’on divise les deux côtés opposés AB, CD en un même nombre de parties égales, et que l’on joigne par des fils tendus les points de division correspondants, ces fils représenteront l’un des systèmes de génératrices rectilignes d’un paraboloïde hyperbolique. Si l’on divise de même les deux côtés opposés AC, BD en un même nombre de parties égales, et que l’on joigne par des fils les points correspondants, on obtiendra le second système de génératrices.

Si le quadrilatère ACDB était plan , les fils seraient tous situés dans le plan du quadrilatère; mais, que l’on déforme le quadrilatère de manière à le rendre gauche, les fils cesseront d’être situés dans un même plan et formeront un paraboloïde hyperbolique ; c’est pourquoi on a donné aussi à cette surface le nom de plan gauche.

503-11 est facile de déduire de l’équation du paraboloïde hyperbolique

2p iq S

celles des deux systèmes de génératrices. En effet, cette équation peut être mise sous la forme

Les deux équations du premier degré

dans lesquelles le paramètre X est arbitraire, représentent un système de droites situées sur la surface ; car, en multipliant ces deux équations membre à membre, on retrouve l’équation (1). Les deux équations

+L-Y Lr

l / 2 p /•iq (*

dans lesquelles le |iaramètre p est arbitraire, représentent un second système de droites situées sur la surface- Il est clair que par tout point de la surface passent deux droites, une de chaque système. D’ailleurs, la première des équations (X) montre que toutes les droites du premier système sont parallèles au plan

et de même la première des équations (p) montre que toutes les droites du second système sont parallèles au plan

Ainsi, les systèmes d’équations (X) et («x) représentent bien les deux systèmes de génératrices rectilignes du paraboloïde hyperbolique, tels que nous les avons définis géométriquement.