L1V. VI, CIIAP. VII.— COND. POUR DÉFINIR UNE SURF

584 — Cherchons, comme application, l’équation du cône circonscrit à un ellipsoïde

(7) ^ + fï + ^~,=0’

et ayant pour sommet un point donné P dont les coordonnées sont x, , y, , z,.

L’équation du plan tangent à l'ellipsoïde au point x, y, z est x\ y\ zZ

Pour que ce plan passe au point P, il faut que les coordonnées x„ y„ z, vérifient la condition

La courbe définie par les équations (7) et (8) est la courbe de contact du cône et de l’ellipsoïde ; l'équation générale des surfaces du second degré qui touchent l’ellipsoïde suivant cette courbe plane est

as + 6-.+ c.-t+*Ur+ 6* +ir

Si l'on prend X de manière que l’équation précédente soit vérifiée par les coordonnées x, , y,,z, du point P, elle représentera le cône circonscrit, puisqu’il n’existe qu’une surface du second degré tangente à l’ellipsoïde suivant la courbe considérée et passant par un point donné; on obtient ainsi l’équation demandée

585 — On sait que l’élimination de z entre deux équations du second degré à trois inconnues x, y, z conduit, en général, à une équation du quatrième degré entre x cl y. Ainsi, la ligne d'intersection de deux surfaces du second degré se projette généralement sur un plan suivant une courbe du quatrième degré. Certains cas font exception. Considérons deux surfaces du second degré qui ont le même plan diamétral pour une môme série de cordes ; si l’on prend ce plan diamétral pour plan des

xy et une parallèle aux cordes pour axe des z, les équations des deux surfaces auront la forme

Az«+P = 0, A'z*+P'=0,

P et F désignant deux polynômes du second degré qui ne renferme que les deux variables x et y. L’élimination de z entre les deux équations précédentes, donne une équation du second degré