LIV. VI, CHAP. VII.— COND. POUR DÉFINIR UNE SURF

conique, on verrait, comme dans le cas précédent, que, outre cette solution, il y en aurait une infinité d’autres, déterminées chacune par un nouveau point pris en dehors des deux plans.

Lorsque sept des neuf points sont dans un même plan P, si ces sept points ne sont pas sur une même ligne du second degré, le lieu est l'ensemble du plan P et d’un second plan mené arbitrairement par la droite qui joint les deux autres points. Mais si les sept points sont sur une même courbe du second degré, outre ces solutions, il y en a d’autres, déterminées chacune par deux points arbitraires. Les cas, dans lesquels huit ou neuf points sont dans un même plan, donnent lieu à des remarques analogues.

57 7 — Considérons deux surfaces du second degré définies par les deux équations

L’équation

représente, quelle que soit la valeur de X, une surface du second degré qui passe par la courbe d’intersection des deux premières surfaces. On peut choisir X de manière que la surface (3) passe par un point quelconque M pris en dehors des surfaces (f) et (2). D'ailleurs, il est facile de s’assurer qu’il n’existe qu’une surface du second degré passant par le point M et la courbe d’intersection des surfaces (i) et (2). Supposons, en effet, que deux surfaces S et S' satisfassent à ces conditions; menons par le point M un plan quelconque P; ce plan coupera les surfaces (1) et (2) suivant deux lignes du second degré ayant quatre points communs; il coupera aussi les deux surfaces S et S' suivant deux lignes du second degré passant par les quatre points communs aux deux premières et par le point M; mais ces quatre points et le point M déterminent complètement une ligne du second degré. Les deux surfaces S et S', étant coupées suivant la même courbe par tout plan mené par le point M, coïncident. Ainsi, la ligne de rencontre de deux surfaces du second degré et un point déterminent complètement une surface

du second degré; en d'autres termes, l'équation (3) est l’équation générale des surfaces du second degré qui passent par la courbe d’intersection des surfaces (1) et (2).

578 — On peut supposer que l’une des équations (1) et (2) représente deux plans, alors son premier membre est le produit de deux fonctions du premier degré P et Q des variables x, y, z. Donc f équation

(i) F-fXPQ = 0

représente toutes les surfaces du second degré qui passent par les sections faites dans la surface (I) par les deux plans P=0,Q=0.

Par la même raison l’équation

(5) PQ+XRS = 0

est l’équation générale des surfaces du second degré qui passent par les quatre droites d’intersection des plans P=0, Q = 0, avec les plans R=0, S=0.

579— La ligne d’intersection de deux surfaces du second degré est généralement une courbe gauche, sur laquelle on peut, d’une inQnité de manières différentes, prendre neuf points, de telle sorte que trois d’entre eux ne soient pas en ligne droite, ni quatre dans un même plan, et par ces neuf points on peut toujours faire passer une infinité de surfaces du second degré. Ainsi, lorsqu’on demande de faire passer une surface du second degré par neuf points donnés, ce nest pas en examinant combien il y a de ces points sur une même droite ou dans un même plan que l’on pourra décider si le problème admet une ou plusieurs solutions.

580— Considérons deux surfaces du second degré ayant cinq points communs dans un même plan P; ces cinq points déterminent une courbe du second degré C, qui appartient aux deux surfaces. Prenons trois points communs aux surfaces, non compris dans le plan P, et par ces trois points imaginons un plan F ; le plan P' coupe la courbe C en deux points qui, avec les trois premiers, déterminent une courbe du second

LIV. VI, CHAP. VII.— COND. POUR DÉFINIR UNE SURF. 521 degré C', également commune aux deux surfaces. Les deux surfaces ne peuvent pas avoir un nouveau point commun, non situé sur les courbes C et C', sans quoi elles coïncideraient (r.° 575).

Ainsi, lorsque la ligne d’inlerseclion de deux surfaces du second degré a cinq points dans un meme plat », celle ligne se compose de deux courbes planes.

581 — Considérons deux surfaces du second degré qui se touchent en deux points A et B. Soit C un troisième point commun aux deux surfaces; par les trois points A, R, C faisons passer un plan P; ce plan coupera chacune des surfaces suivant une courbe du second degré ; ces deux courbes ont trois points communs A, B, C, et les memes tangentes en deux points A et B; donc elles se confondent. Car nous avons vu (n°270) qu’il n’y a qu’une courbe du second degré remplissant ces conditions. Puisque le plan P coupe les deux surfaces suivant la même courbe, il résulte du théorème précédent que la ligne d’intersection des deux surfaces est formée de deux courbes planes. Ainsi, deux surfaces du second degré, qui se touchent en deux points, se coupent suivant deux courbes planes , et les plans des deux courbes se coupent suivant la droite qui joint les points de contact donnés.

La démonstration précédente suppose que les plans tangents en A et B ne se coupent pas suivant AB, c’est-à-dire que les points donnés n’appartiennent pas à une droite située sur la surface. Dans ce cas, nous verrons qu’en général la ligne d’intersection se compose d’une ligne droite et d’une ligne gauche dont la projection sur un plan est du troisième degré.

58* —Considérons enfin deux surfaces du second degré qui se touchent en trois points A, B, C; d’après le dernier théorème, tout point commun aux deux surfaces doit se trouver dans un même plan avec chacune des cordes AB, BC, CA ; les surfaces n’ont donc pas de point commun en dehors du plan P déterminé par les points A, B, C. Ce plan P coupe les deux sur-

faces suivant une même courbe S, el les deux surfaces ont le même plan tangent en chaque point D de la courbe. En effet, par le point D et le point A, par exemple, menons un plan quelconque dilférent du plan P, ce plan coupe les deux surfaces suivant deux courbes qui passent en A et D; ces deux courbes sont tangentes en A, et, comme elles n'ont pas d’autre point commun que le point D, elles sont aussi tangentes en ce point. Ainsi, lorsque deux surfaces du second degré se louchent en trois points, elles sont tangentes en tous les points d’une ligne plane située dans le plan des trois points.

583— Nous avons vu que l’équation

représente une surface du second degré qui passe par les courbes d’intersection de la surface F=0 avec les plans P=0, Q=0. Il en résulte que les surfaces représentées par l’équation

sont tangentes à la surface F =0 suivant la courbe d’intersection C de cette surface et du plan P = 0.

L’équation (6) renferme un paramètre arbitraire X qui permet de faire passer la surface par un point arbitraire; d’autre part on démontre, comme au n« 577, qu’une surface, qui doit être tangente a une surface du second degré en tous les points d’une courbe plane et passer par un point donné, est complètement déterminée. On peut donc regarder l'équation (6) comme l’équation générale des surfaces du second degré qui touchent la surface (1) aux points où elle est coupée par le plan P=0.

Si l’on a deux surfaces du second degré circonscrits à une même surface du second degré F=0, ces deux surfaces sont représentées par des équations de la forme

elles se coupent suivant deux courbes du second degré situées dans les plans

F + XPQ=0

(6) F + XP!=0

F + XP*=0, F + X'F‘=0;