PQ+X

II est clair que le système des deux plans PQ=0 forme un premier cône du second degré passant par les deux courbes. Cette première solution correspond à une racine double X=0 de l’équation du quatrième degré en X, qui s’abaisse ainsi au second degré. Pour simplifier le calcul, prenons les deux plans pour plans des y z et des xz; l’équation (13) devient xy+yf=0,

et les équations (11) et (12) se réduisent à y + X/!f=0,

cx+c'y+cJ'z+d=0,

Si des deux dernières on tire les valeurs de x et y en fonction de z-, qu’on les substitue dans les deux premières, et qu’on élimine ensuite z, on arrivera évidemment à une équation du second degré en X. Ainsi, par deux sections planes d’une surface du second ordre, on peut faire passer deux cônes du second degré.

EXERCICES

1° On mène des normales à un ellipsoïde par les différents points d’une section plane; trouver le lieu de la trace de ces normales sur l’un des plans principaux. Examiner le cas où le plan de la section est perpendiculaire au plan principal.

2» Etant donné un ellipsoïde, on mèqe des plans diamébr. 3-1

sâ6 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

traux qui coupent le solide suivant une ellipse d’aire constante; trouver le lieu : t° de la perpendiculaire menée par le centre a ce plan ; 2° du diamètre conjugué.

3° L’œil étant placé en un point de la surface d’un ellipsoïde, les perspectives de toutes les sections planes de la surface sur le plan diamétral conjugué du rayon qui aboutit à l’œil, son! îles courbes homothétiques; le centre de chacune d’elles est la perspective du sommet du cône circonscrit à l’ellipsoïde suivant la section plane considérée.

4° Démontrer que le lieu de la droite d’inlersection de deux plans rectangulaires menés par deux droites données, est un hyperboloïdc à une nappe dont les sections circulaires sont perpendiculaires à chacune des deux droites données.

3° Un cône a pour sommet un point d’un hyperboloïde de révolution à une nappe el pour base le cercle de gorge; démontrer que les sections anti-parallèles de ce cône sont perpendiculaires au plan du cercle de gorge.

6° Les quatre perpendiculaires abaissées des sommets d’un tétraèdre sur les faces opposées sont situées sur un hyperboloïde à une nappe. Le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre, le centre de gravité du tétraèdre el le centre de l’hyperboloïde sont en ligne droite.

7“ Trouver le lieu des points tels que le rapport des distances de chacun d’eux à deux droites données soit constant. Déterminer ensuite, pour une surface du second degré susceptible de ce mode de génération, les divers couples de droites que l’on peut employer.

9° Le lieu des normales à une surface réglée quelconque le long d’une même génératrice est un paraboloïde hyperbolique.

10° Étant donné un point et deux plans rectangulaires, trouver le lieu des points tels que la distance de chacun d’eux au point fixe soit moyenne proportionnelle entre ses distances aux deux plans fixes.

H° Par une génératrice d'un paraboloïde hyperbolique on mène un plan perpendiculaire au plan directeur auquel cette

LIV. VI, CHAP. VII — COND. POUR DÉFINIR UNE SURF. 521 génératrice est parallèle ; ce plan est tangent à la surface en un point de la génératrice que l’on appelle le point central de la génératrice; trouver le lieu de ce point pour les génératrices du même système. (Ce lieu est la ligne de striction de la surface.)

12" Par une génératrice d'un byperboloïde à une nappe on mène un plan tangent au cône asymptote et au plan perpendiculaire au précédent ; ce dernier touche la surface en un point qu’on appelle point central de la génératrice; trouver le lieu du point central ou ta ligne de striction de la surface.

13° Par un point 0 pris sur l’arête d’un angle dièdre, on mène dans l’une des faces une droite OA et dans la seconde face une droite OB perpendiculaire à OA ; trouver le lieu de la perpendiculaire menée par le point 0 au plan AOB.

t-io Indiquer les diverses surfaces représentées par l’équation

x,-|-(2m,+ l)(p’ +2‘) — <l[yz + zx-\-xy)—<im3 — quand on donne au paramètre m toutes les valeurs possibles.

15" Étant donné un cercle et deux points fixes A et B dans l’espace ; par le point B et la droite des contacts relative à un point quelconque P du plan <ju cercle, on mène un plan; trouver le lieu du point d’intersection de ce plan avec la droite AP.

tti° Lorsque deux surfaces du second degré passent par deux droites non situées dans un même plan, l’intersection des deux surfaces se compose de ces droites et de deux autres droites, réelles ou imaginaires.

17» Lorsque deux surfaces du second degré se raccordent suivant une même génératrice, il y a en général sur cette génératrice deux points tels que la seconde génératrice qui passe par chacun d’eux est la même sur les deux surfaces.

t8« Les perspectives sur un même plan des sections planes d’une surface du second degré ont un double contact réel ou imaginaire avec le contour apparent de la surface.

19" Étant données les trois équations

a’ — r* ' 6’ — r' ' c* dans lesquelles on suppose a>6>c, p<c, c<iq<.b, b<r<Ca, et qui représentent, la première un ellipsoïde la seconde un hyperboloïde a une nappe, la troisième un hyperboloïdeà deux nappes; démontrer: 1® que ces surfaces se coupent deux à deux à angle droit; 2® les deux courbes suivant lesquelles une des surfaces est coupée par les deux autres ont pour tangentes en leur point d'intersection des droites parallèles aux axes de la section faite dans la première surface par un plan parallèle au plan tangent en ce point.

19® Étant données deux des surfaces considérées dans le problème précédent, trouver une surface de révolution du second degré (ayant pour axe l’un des axes de ces surfaces) à laquelle appartienne la ligne d’intersection.

20“ Étant donnés les paraboloïdes représentés par l’équation

dans laquelle * est un paramètre arbitraire; si l’on attribue au paramètre « deux valeurs telles que les paraboloïdes correspondants se coupent, ils se couperont à angle droit. Lorsqu’un paraboloïde est coupé par deux autres d’espèces différentes, les tangentes aux deux lignes d’intersection au point commun sont parallèles aux axes de la section faite dans la première surface par un plan parallèle au pian tangent en ce point.

21® Étant donnés deux des paraboloïdes considérés précédemment, on propose, lorsque ces paraboloïdes se coupent, de trouver une surface de révolution du second degré (ayant pour axe l’axe commun des paraboloïdes) à laquelle appartienne la ligne d’intersection.

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