DISTANCE DF. DEI X POINTS

55 — Supposons d’abord les axes rectangulaires et chcr- , chons la distance de l’origine à un point H

dont nous appelons x et y les coordonnées; " dans le triangle rectangle OPM (flg. 32) on a

OM * =ÔP ’ +TI ’=£ • +y » ,

<■ <■ quelle que soit la position du point M dans le

F,c 3î- plan; d’où l’on déduit, en désignant par / la distance OM,

LIV. I, CHAP. IV. — l'RANSF. DES COORDONNÉES. 43 (10) /=/*»+!/ 1 “

Cherchons maintenant la distance des deux points M et Jl , situés d’une manière quelconque dans le plan; nous appelons , , ' x et y les coordonnées du point M, X' et

y' celles du point M’ par rapport aux axes 'V " rectangulaires OX, OY. Par le point M

I — ÿ (flg. 33) menons des axes MX', MV, paral-

__ — lèles aux axes proposés; les coordonnées

Fi(. 33 du point M', relativement à ces nouveaux

axes sont égales à x — x, y’ — y, en vertu des formules (2) du n*49. La distance I de la nouvelle origine M au point M', d'après la formule (10), sera donc

56 — Nous avons supposé jusqu’à présent les axes rectangulaires. Quand les axes sont obliques et font entre eux l’angle 0, l’expression de la distance est un peu plus compliquée. Cherchons d’abord la distance de l’origine O à un N point quelconque M du plan. Dans le triangle OPM (fig. 34), quelle que soit la position du point M, on a

OM!=Ol”+ PM*- i. OP. PM. eos OPM.

Quand le point M est situé dans l’angle M3X, les coordonnées xety de ce point sont égales u -j- OP et à -f- PM, et l’angle OPM est le supplément de l’angle 0; on a donc

(12) lz=[/ xi+y! + ‘ixy cosd.

Si le point M est situé dans l’angle Y'OX', les coordonnées x et y étant égales à — OP et à — PM, et l’angle OPM le supplément de 0, on obtient la môme formule (12). Quand le point M est situé dans l’un des angles YOX', Y'OX, l’angle OPM est égal à 9, mais l’une des coordonnées est négative, ce qui reproduit encore la formule (12). Celle formule est donc générale.

Pour avoir la distance des deux points M et M', on imaginera

il GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

comme précédemment par le point M des axes parallèles aux premiers, et on obtiendra la formule

(13) l — V ix'— xi’ + (y —y) * + 2 (x*— x) (y‘— y) cos t.