CHAPITRE

Ligue droite.

CONSTRUCTION DE L ÉQl'ATION DU PREMIER DEORÉ.

50— L’équation générale du premier degré entre les deux ■variables x et y est de la forme

(I) A.r + By + Cr=0.

Nous avons déjà fait remarquer que la ligne représentée par celle équation, ne pouvant être coupée par une droite en plus d'un point, est nécessairement droite. Nous allons démontrer directement que celte équation représente une ligne droite.

U est impossible que les deux coefficients A et B des variables soient nuis à la fois; car alors il faudrait que l'on eût * C=0, et l’équalion se réduirait à une

/ identité. Mais il peut arriver que l’un des

& n/ m j. coefficients soit nul ; si, par exemple, le

j / coefficient A est nul, l’équation se réduit

~-0- 4 x à la forme Bj/ + C=0 ou ?/=.&. Cette

f.c as. » équation représente le lieu d’un point M dont l’ordonnée MP est constante et égale à b, quelle que soit l’abscisse OP ; c’est une droite G'G parallèle à l'axe OX (fig. 33); on l’obtient en portant sur l’axe OY, à partir de l'origine, une longueur OB égale à la valeur absolue de 6, dans un sens ou dans l’autre, suivant le signe de b, et menant par le point B une parallèle G'G à l’axe OX. En particulier l’équation y=0 représente l’axe OX lui-même.

Lorsque le coefficient B est uul, l'équation se réduit a

48 GÉOMÉTKIE ANALYTIQUE.

Ax + C=0,ou x—a. Celle équation représente le lieu du point ( M dont l’abscisse MQ est constante et égale

" à a, quelle que soit l’ordonnée OQ; c’est une

v L M droite H H parallèle à l'axe OY ; on l’obtient

en portant sur l’axe OX, à partir de l'ori-

/ ! gine, une longueur OA égale à la valeur

absolue de o, dans un sens ou dans 1 autre, Fig. 3«. suivant le signe de a, et menant par le point A une parallèle H H à l’axe OY. En particulier , l’équation x= 0 représente l’axe OY.

Lorsque le coefficient B n’est pas nul, on peut diviser par B et mettre l’équation sous la forme

ou

(2) y = ax + 6.

en posant, pour abréger, a=— g, « — — -£•

Considérons d’abord le cas particulier où 6=0, ce qui réduit l’équation à la forme

y = ax , ou ~-a-

Si a est un nombre positif, tous les points du lieu, ayant

leurs coordonnées de même i n*. ' signe, se trouvent dans l’angle / N / k YOX, ou dans son opposé par le sommet Y OX' (fig. 37). Prenons une abscisse quelconque r OP, et par le point P menons une parallèle à l’axe des y; on pourra , sur celte parallèle , trouver un point M tel que

fit -

Fig. 37.

MP

—=a, le point M sera un OP

point du lieu. Soient M, M', M’’... divers points du lieu construits de cette façon ; des rapports égaux