LIV. II, CIIAP. I.— LIGNE DROITE

et, dans celle de la seconde,

y MP sin MOP sin * sin a

° x — OP — sin OMP — sin (a — 6) sm(0 — «)’

on a donc, dans tous les cas,

sin « sin (0 — a)

Quand les axes sont rectangulaires, celte formule devient (4) long a=a.

La formule (4) détermine l’angle a, que fait avec l’axe OX la droite proposée, quand les axes sont rectangulaires.

Quand les axes sont obliques, on déduit de la formule (3)

a sin 0

(5) tanga = — — —

y 1 + a cos 0

Mais cette formule n’est pas calculable par logarithmes ; quand on veut obtenir l’angle a au moyen des tables, on a recours à une autre formule. L’cquation (3) donne

«ma «in (0— a) sin a + sin (0 — a) sin a — sin(0 — a)

si l’on transforme en produits la somme et la différence des sinus, il vient

2sin-cos( a — - ] 2co*—stn a 1

d’ou

68— Lorsqu’on veut construire la droite représentée par une équation du premier degré à coefficients numériques, on cherche ordinairement les points A et B où elle coupe les axes, et on fait passer une droite par ces deux points.

Soit, par exemple, l’équation 2x — 3y=5; pour y =0, on a®=|; pour x=0, y=z — J; on portera, à partir de l'origine, sur l’axe des x, la longueur 5 dans le sens positif, sur l'axe des y la longueur l dans le sens négatif.

Quand l’équation ne renferme pas de terme constant, la

droite passe par l’origine. On en détermine un second point, en donnant à z une valeur particulière; soit, par exemple, l’équation 2 y-f3£=0; l’équation étant vérifiée pour £=.<►, y— 0, la droite passe par l’origine; si l’on faitx=2, on a y = — 3 ; construisant le point qui a pour coordonnées £ = 2, y= — 3, on obtiendra un second point que l’on joindra à l’origine.

63 — L’équation générale de la ligne droite

Ax + B I/ + C=0

renferme deux coefficients ou paramètres arbitraires ; car on peut diviser l’équation par l’un des coefficients, et il restera les rapports des deux autres coefficients à celui par lequel on a divisé. Quand on met l’équation sous la forme y=ax + b, ces deux paramètres sont a et b. Pour fixer la position de la ligne droite dans le plan, il faudra donner les valeurs des deux paramètres,ou deux équations entre ces deux paramètres servant à déterminer leurs valeurs. Il faut donc deux conditions géométriques pour déterminer une ligne droite, en supposant que chaque condition s’exprime par une équation.

PROBLÈME I

64— Trouver l’équation générale des droites qui passent par un point donné.

Appelons x' et y' les coordonnées du point donné M. Une droite quelconque a pour équation y=ax + b.

Pour que celle droite passe par le point M, il faut que les coordonnées de ce point vérifient l’équation de la droite; si donc on remplace les coordonnées variables £ et y par les coordonnées £ ' et y' du point M, on aura l’équation de condition y' = ax‘ b.

Celle relation entre les deux paramètres a et b détermine l’un des paramètres en fonction de l’autre, par exemple le paramètre b eu fonction de a ; en remplaçant, dans l’équation de la droite, b par sa valeur y' — ax1 tirée de l’équation de condi-