LIV. Il, CHAP. I.— LIGNE DROITE
JL+ü-i.
de même, la médiane BF a pour équation
Le point D, milieu de AB, a pour coordonnées 0F=^, 0E=^.
Z Zi
la droite OD, qui va de l’origine à ce point, est représentée par l’équation
En résolvant les deux premières équations, on obtient les coordonnées x=-^, y =~, du point d’intersection G des deux
premières médianes AE et BF. Ces coordonnées vérifiant la troisième équation , on en déduit que la troisième médiane passe aussi par le point G.
On voit immédiatement que les trois médianes passent par un même point; car, si l’on retranche les deux premières équations membre à membre, on obtient la troisième.
73 — Gomme exemple de trois points en ligne droite, consi-
dérons un quadrilatère OACB
Fig. 45.
(fig. 45); si l’on prolonge les quatre côtés indéfiniment, on forme ce qu’on appelle un quadrilatère complet; les côtés secoupentdeux àdeux en six points ou sommets; en joignant les sommets op- T posés, on obtient trois diagonales AB, A'B', OC ; nous
allons démontrer que les trois points D, E, F, qui divisent ces
diagonales en deux parties égales, sont en ligne droite.
CO
Prenons les côtés OA et OB pour axes des coordonnées ; désignons par a et a' les deux longueurs OA et OA', par b et b1 les deux longueurs OB et OB'. Le point I), milieu de AB, a
pour coordonnées x'= y'=~ . Le point E, milieu de A'B',
a pour coordonnées 3":=^-, y"=^. Pour avoir les coordonnées du point F, milieu de OC, cherchons celles du point C, intersection des deux droites AB', A'B, qui ont pour équations
sr y - + f=l.
En résolvant ces deux équations simultanées, on obtient les coordonnées du point C,
aa' (b — 6') bb' (a — a')
x ab — a' b' ’ ^ ab—a'b1 '
Le point F étant le milieu de la droite OC, ses coordonnées y"' sont la moitié de celles du point C; on a donc j.»,— aa' (h—V) u„, b VJa — «0
2(aô— a'6')’ J 2 [ab — a b')
Ayant les coordonnées des points D, E, F, on reconnaît aisément que les trois points sont en ligne droite. Les droites DE et DF ont pour coefficients angulaires
y"—y'b'—b x"—xf a' — a’
bb' [a — a')
y'"— y’ ab—a'b 1 b b'— b
ab—a'b' 0
ces deux coefficients angulaires étant égaux entre eux, on en conclut que les (rois points D, E, F sont en ligne droite.
