LIV.tt, CHAP. I. -LIGNE DROITE

En appliquant la formule de la distance de deux points (n°“>5), on obtiendra la longueur l de la perpendiculaire MP,

d’où

t/—ax' — b ± / l-j-a*

On mettra devant le radical le signe du numérateur, afin d'avoir pour l une longueur positive. 11 est aisé de voir que ce numérateur est positif ou négatif, suivant que le point M est situé au-dessus ou au-dessous de la droite AB. En effet, soit N le point où la droite AB est rencontrée par la parallèle à l’axe des y menée par le point M ; le point N étant sur la droite AB, l’ordonnée ÿ, de ce point est égale à ax‘ +ù, de sorte que la formule (21) devient

La différence y1 — y , est positive si le point M est au-dessus pe N, négative s’il est au-dessous.

On aurait pu obtenir immédiatement la longueur de la perpendiculaire sous cette dernière forme, en remarquant que le triangle rectangle MNP donne

MP= MN sin MNP=± (y— y,) cos<x= —

— Ÿ i -fa**

77 — Supposons maintenant les coordonnées obliques; les droites AB et MP seront perpendiculaires si leurs coefficients angulaires a et a' vérifient la relation

1 + aa' -f- (o -j- a!) cos 8 = 0,

d'où l’on déduit

i + a cos 0 a + cos 0

La perpendiculaire MP a donc pour équation

l-+-acosO

a -f cos 0

En résolvant les deux équations simultanées (2) et (22), on obtiendra les coordonnées x et y du point P; si, comme précédemment, on cherche les différences x — x\ y — y', on trouve

, (y'—ax’— b) (a + cosO)

X X 1 + a* + 2a cos 0 ’

(y'— ax'— b) (t+acosO) .

y l-f-a' -J-2ucos0 ’

substituant ces différences dans la formule de la distance de deux points

/=/ {x—x') 1 + (y—ÿ) ’ + 2 (x— x') [y— y') cosl,

on a

±(y' — ax1 — b) i -j— « cos 9)* — 2 (n-(- cos 0 / ( 1 -f- o ros <i)cot 0

l== ï+a* + 2acos«

En développant les calculs, on voit que la quantité placée sous le radical contient en facteur 1 — cos * 0 ou sin * 9, et s’écrit

(t +a'+2acos0) sin1 0 ;

il en résulte

/ 4-j-a’+2acos0

Le numérateur est positif ou négatif suivant que le point M est situé au-dessus ou au-dessous de la droite donnée. On mettra devant le radical le signe du numérateur, afin d’avoir pour l une quantité positive.

7 8— Dans ce qui précède, nous avons supposé l’équation de la droite donnée mise sous la forme y=ax-\-b. Si cette équation avait la forme générale

(1) Ax-f Bÿ + C = 0;

le coefficient angulaire a de la droite donnée étant égal à — — , ou aurait dans le cas des coordonnées rectangulaires

a'— — “ — et la perpendiculaire abaissée du point M serait

représentée par 1 équation

LIN . Il, CHAP. I— LIGNE ÜIIOITL.

ou plus simplement

La formule (21), dans laquelle ou remplace a et b par leurs

valeurs — devient

(25) 1= •V*,+ By'+— .

Celte formule exprime la distance d’un point à une droite en coordonnées rectangulaires : le numérateur est le premier membre de l'équation de la droite, dans lequel on remplace x el y par les coordonnées du point; le dénominateur est la racine carrée de la somme des carrés des coefficients de x et de y.

Quand les axes sont obliques, on a

B — Acosû A — Bros 8’

la per[>cndiculaire a pour équation

/on' x~* — y -y'

' ' À— Beos 6“ B— A cos 8’ et la formule (23) devient

foi) /— (A*'+Bÿ,+C)Sine

± l/A* + B* — 2ÂBcoso"

Il est aisé de reconnaître le signe du numérateur, suivant la position du point M par rapport à la droite AB. Soit N le point où la parallèle NQ à l’axe des y rencontre la droite AB; pour le point N, l’expression Ax-fBy + C est nulle; quand le coefficient B est positif, si l’on marche dans le sens des y positifs, le terme By augmente, et la fonction prend des valeurs positives de plus en plus grandes ; si l’on marche dans le sens opposé, elle prend des valeurs négatives. C’est le contraire qui a lieu, lorsque B est négatif.

br. 5

lit)

PROBLEME X

70— Par le point d'intersection de deux droites données , mener une droite perpendiculaire à une droite donnée.

Soient

Ax + By + C=0,

les équations des trois droites données; toute droite passant par le point d’intersection des deux premières droites est représentée par une équation de la forme

(Ax 4* B y -j- G) -1- X A x -f- Bf y C') ~ 0 ; pour qu’elle soit perpendiculaire à la troisième droite, il faut que l’on ait, en supposant les axes rectangulaires,