LIV. 11, CHAP. il.— DU CERCLE
d'aucun point du plan ; car le carré de la distance d’un point au point C ne peut être égal à une quantité négative.
Au lieu de déterminer le centre C du cercle par ses coordonnées a et il est plus commode de le déterminer par les projections orthogonales de la droite OC sur les deux axes. Appelons a' et p' ces deux projections OD et OE (fig. 50), prises avec le signe convenable, et exprimons que la projection de la droite OC sur l’un ou l’autre axe est égale à celle de h ligne brisée OPC ou OQC; nous aurons
a' = a + p COS 0 , P' = S + a COS 0 ;
il en résulte
Après avoir porté sur les axes à partir de l’origine les longueurs a et p’, on élèvera par les points I) et E des perpendiculaires aux axes; l’intersection des deux perpendiculaires déterminera le centre C.
PROBLÈME i.
ar
88 — Trouver l’équation de la tangente à une courbe quelconque.
Nous avons défini (n°27)de cette
/ ^ manière la tangente à une courbe quelconque (fig. 51) : si l’on fait tourner autour du point M une sécante MM' de manière à ce que le point M se rapproche indéfiniment * du point M, la sécanle tend vers une position limite MT ; cette droite
Fie. SI.
MT est dite tangente à la courbe au point M.
Soient i et y les coordonnées du point de contact M, x+h et y-\-k celles du point voisin M' ; la sécanle MM’ a pour coefficient angulaire-^, le rapport de la différence des ordonnées à
la différence des abscisses. Quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M, les deux accroissements A et A tendent simultanément vers zéro, et le coefficient angulaire de la tan-
genleest égal à la limite du rapport—, c’est-à-dire à la dérivée
de l’ordonnée considérée comme une fonction de l’abscisse.
Si l'équation de la courbe est résolue par rapport à y et mise sous la forme y=f (x); la tangente aura pour coefficient angulaire ÿ =f ( x ). Lorsque l'équation de la courbe f(x, y)= O n’est pas résolue, on obtient la dérivée y' de la fonction implicite y à l’aide de l’équation
r<+yr,= =0,
dans laquelle f et désignent les dérivées partielles de la fonction f{x,y ) par rapport à x ou par rapport à y. On en déduit
PROBLÈME II
89— Trouver l'équation delà tangente au cercle. Appliquons la formule précédente au cercle, et, |iour simplifier, supposons les axes rectangulaires et l’origine des coordonnées placés au centre du cercle; le cercle a pour équation
Si l’on résout par rapport à y, l’équation devient y=±l/r' — x * ;
en prenant la dérivée de cette fonction, on a
En conservant l’équation non résolue et appliquant la formule (5), on obtient la même valeur
se.
Le rayon qui va du centre au point de contact ayant pour coefficient angulaire -, on voit que la tangente est perpendicu-
laire au rayon.
Dans ce qui suit, nous désignerons par x et y les coordon-
