LIV. II, CH AP. II.— DU CERCLE

nées du point de contact M, et par X et Y les coordonnées variables d’un point quelconque de la tangente. La tangente,

ayant pour coefficient angulaire — — et passant par le point M,

est représentée par l’équation

que l’on peut mettre sous la forme

xX+ y Yrrx’+ÿ*.

Puisque le point M est sur le cercle, ses coordonnées vérifient l’équation du cercle, et l’on a

L'équation de la tangente devient ainsi (7)Xaj+ JyY=r*.

PROBLÈME III

•O — Mener une tangente au cercle par un point extérieur P. Supposons toujours le cercle rapporte à deux axes rectangulaires menés par le centre, et représenté par l’équation

Désignons par i, et yt les coordonnées du point donné P (fig. 52). Soit PM une tangente menée par le point P; la qnesn revient à déterminer le |>oint de 'Ifl ^ÉHact M, dont nous appellerons x et y les coordonnai Le point M étant sur le cercle, ses

coordonnées Hnjuatioii (G). La tangente au point M a

pour équation

*X + yY=r*.

Cette tangente passant par le point P, son équation doit être vérifiée par les coordonnées de ce point, ce qui donne la seconde équation

(8) æx.+yy.zsr*.

En résolvant ces deux équations simultanées, on obtiendrait les valeurs des inconnues x et y.

La résolution des deux équations (6) et |8) revient à chercher les points d'intersection de deux lignes. La première équation représente le cercle proposé; la seconde une ligne droite. Chercher les valeurs de x et de y qui vérifient à la fois ces deux équations, c’est chercher les points d’intersection de la droite et du cercle. Cette droite MM' coupe le cercle en deux points M et M'; c’est la droite des contacts. L’équation (8) de la droite des contacts a même forme que l'équation (7) de la tangente; seulement, les coordonnées du point de contact sont remplacées par celles du point P.

91— On sait que, lorsqu’on a deux équations simultanées

à deux inconnues x et y, si l'on remplace l'une d’elles par l’équation mA+nB=0, que l'on obtient en ajoutant membre à membre les deux équations proposées, après les avoir multipliées par des nombres arbitraires m et n, on forme un nouveau système d’équations

mA+ nB=0,

équivalent au système proposé. Cela signifie géométriquement que les points d’intersection des deux lignes représentées par les deux équations proposées sont les mêmes que les points

d’intersection de l’une d’elles par la In Nous avons dit que les points de co par l’intersection du cercle propose e En retranchant les deux équations (0) t? on obtient la nouvelle équation

gne.

ont donnés es contacts, e à membre,

ou

x’-f-y* — xix — y,y= 0,

qui peut remplacer l’équation (8); cette nouvelle équation représente le cercle décrit sur la droite OP comme diamètre;

LIV. Il, CHAP. II.— DU CERCLE, les points où ce cercle coupe le cercle proposé sont les points de contact. On retrouve ainsi la construction de la géométrie élémentaire.

PROBLÈME IV

02 — Mener une tangente parallèle à une droite donnée. Au cercle

(6) ar’ + j/’^rr’

on veut mener une tangente parallèle a la droite

y=mx ,

que l’on peut supposer passant par l’origine (tlg. 53). Si l'on désigne par x et y les coordonnées du point de contact M, on sait que le coefficient angulaire de la

OC

tangente est égal à — - ; pour que la tangente MT soit parallèle à la droite donnée, il faut que son coefficient angulaire soit égal à m; on aura donc la condition

ou

D’ailleurs les coordonnées du point M vérifient l’équation du cercle. Ces coordonnées seront donc déterminées par les deux équations simul^^^<6) et (9), et par conséquent les points de contact M donnés par l’intersection du cercle et

de la droite qilHBscnte l’équation (9); celte droite MM' est un diamèlre perpendiculaire à la droite donnée OA.

03— On peut traiter la question d’une autre manière, et ceci nous fournira l’occasion de présenter l'équation de la tangente au cercle sous une nouvelle forme.

Proposons-nous d’abord de chercher les points d’intersection d’un cercle

76 GÉOMÉTHIE ANALYTIQUE.

et d’une droite quelconque

y=mx + k.

En éliminant y, on obtient l'équation du second degré a;’+ (mx -f k),=rt,

(m»+ tjat’-fîmtï+A'’ — r’:=0.

Quand cette équation a ses racines réelles, la droite coupe le cercle en deux points dont les abscisses sont les racines de cette équation. Si les racines deviennent égales entre elles, les deux points d’intersection se confondent, et la sécante devient tangente au cercle. Enfin, quand les racines sont imaginaires, la droite ne rencontre pas le cercle.

Ainsi, la condition pour que la droite soit tangente au cercle

6St

ou

A’rrr^m’+I).

L'équation de la droite, dans laquelle on remplace k par sa valeur, devient

(10) y=mx±r l/m* + l ;

Cette équation, qui renferme un paramètre arbitraire m, représente toutes les tangentes au cercle.

Si l’on donne la direction de la tangente, le coefficient angulaire m étant connu, on a immédiatement les équations des deux tangentes parallèles à la direction donnée.

PROBLEME V

94 — Trouver le lieu des points dont points fixes s>

pnees à deux e elles dans

un rapport doî Soient A et B les deux points donnés (fig. 5*) ; prenons pour axes des x la droite AB et pour axe des y la perpendiculaire élevée sur le milieu de AB. Si l’on appelle 2 a

la dislance AB, ™ le rapjtort donné.