GENRE PARABOLE

12© — Supposons enfin que le coefficient M soit nul.

La valeur de Y se réduit à

Y=— l/2Nx + P.

Nous subdiviserons ce cas en plusieurs autres.

1H N > 0. Si l’on pose — — = x', on aura ^ 2N

Quand x varie de xi à +oo, la quantité Y est réelle et varie de 0 à -f » ; mais elle est imaginaire pour les valeurs de x inférieures à a/. Si donc, par le point P', dont l’abscisse est x on mène P' A' parallèle à l’axe des y, on voit que la courbe est tout entière située à droite de cette parallèle ; elle passe par le point A' et elle est formée de deux branches situées de part et d’autre du diamètre DD' (fig. Go), on a donné à cette courbe le nom de parabole.

2° N<0. La quantité Yr est réelle quand x varie de x1 à — « ; la courbe passe par le point A' et s’étend à l’infini du côté des x négatives; on l’appelle aussi parabole.

3° N=0. La valeur de y se réduit à B.r-fE 1 2C - 2C

Si P est positif, cette équation représente deux droites parallèles au diamètre DD et situées à égale distance de ce diamètre. Si P=0, ces deux parallèles se confondent avec le diamètre ; enfin si P est négatif, l’équation n’a pas de solution réelle.

Dans le cas où M=0, l’équation (i) peut se mettre sbus l’une des trois formes

(2Cy + Bx-f E)' + 2N<e + P=0, (2Cj/+B.r+E)* + P=0,

(2Cÿ + Bx + E)’=0.

121 — Nous avons supposé dans ce qui précède que le coefficient C est différent de zéro, lorsque le coefficient C est nul, et le coefficient A différent de zéro , on pourrait résoudre l’équation par rapport à a: et construire le lieu comme précédemment ; le premier terme du trinôme placé sous le radical ayant pour coefficient B*, et par conséquent ayant une valeur positive ou nulle, le lieu sera du genre hyperbole ou du genre parabole ; mais il est préférable de résoudre l’équation par rapport à la variable qui n’y entre qu’au premier degré ; d’ailleurs cette nouvelle méthode est seule applicable quand les deux coefficients A et C sont nuis à la fois.

En ordonnant l’équation (1) par rapport à y on a ( B a: + E) y + A a; * + D # + F = 0 ,

d'où

Aa;1 -f Da?+ F V~ Ba:-fE

Supposons d’abord que B soit différent de zéro, et effectuons la division, en ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de x jusqu’à ce que l’on arrive à un reste indépendant de x. Nous distinguerons deux cas suivant que le reste est différent de zéro ou égal à zéro. Dans le premier cas, on obtiendra un résultat de la forme

y=ax+6 +

BaH-E

=ax-\-b + -

=ax+ô+

Pour fixer les idées supposons c> 0.

Construisons le lieu auxiliaire défini par l’équation

Fig. 66.

y=aa: + 6,

et posons

Le lieu auxiliaire est une droite DD’ (fig. 66), et, pour chaque valeur de x, il faut augmenter l’ordonnée de cette droite d’une quantité QM égale à la valeur de Y’.

LIV. III, CHAP. I.— LIGNES DU SECOND DEGRÉ. 107 Cette quantité devient infinie pour x=d; prenons donc un point C ayant pour abscisse d et menons CC' parallèle à OY. Si l’on donne à x une valeur d+x1, x1 étant positif, Y a une valeur positive, et quand x/ tend vers zéro, Y augmente indéfiniment; si, au contraire, x augmente indéfiniment, Y tend vers zéro ; on obtient ainsi une courbe comprise dans l’angle GW et formée de deux branches infinies asymptotes respectivement aux deux droites IC' et IIV. Aux valeurs de x inférieures à d correspondent des valeurs négatives de Y, et l’on obtient une seconde courbe comprise dans l’angle CID, et dont les deux branches infinies sont asymptotes aux droites IC, ID. Si la constante c était négative, on obtiendrait encore une courbe formée de deux branches infinies ; mais ces deux branches seraient situées dans les angles C'ID, CID/. Dans les deux cas, la courbe est une hyperbole ; à deux valeurs de x1 égales numériquement, mais de signes contraires, correspondent des valeurs de Y qui sont aussi égales et de signes contraires, et par suite deux points M et M' symétriques par rapport au point 1 qui est centre de la courbe.

lï* — Lorsque le reste de la division est nul, on a Ax’-f-Da: + $= — (Bæ + E) (aar-f- b) et l’équation proposée prend la forme

(y — ax — b) (Bx+E)=. 0; elle se décompose en deux autres

y — ax — 6 = 0, Bæ+E = 0,

qui représentent deux droites, dont l’une est parallèle à l’axe des y.

Lorsque A est nul en même temps que C, il suffit de faire dans la discussion précédente a=0; la droite DIV devient parallèle à l’axe des x ; on obtient ainsi, soit une hyperbole ayant ses asymptotes parallèles aux axes des coordonnées, soit deux droites parallèles aux axes.

*33 — Supposons maintenant que le coefficient B soit égal à zéro. Le coefficient A est nécessairement différent de zéro.

aulrement l’équation serait du premier degré. La valeur de

y est de la forme

y=a:r,+ bx +c;

elle est réelle quelle que soit la valeur de x; en faisant varier x de — oo à +oo, on obtient une branche infinie; c’est une parabole.

1*41— Remarque. Dans la discussion de l’équation du second degré, nous avons rencontré trois espèces de courbes : des courbes fermées, des courbes à quatre branches infinies, et des courbes à deux branches infinies. Nous avons appelé ellipses toutes les courbes fermées fournies par l’équation du second degré ; hyperboles toutes les courbes à quatre branches infinies; paraboles celles qui n’ont que deux branches infinies.

Nous avons vu au commencement de cet ouvrage (liv. I, chap. il) que les courbes désignées par les mêmes noms en Géométrie élémentaire, sont représentées par des équations du second degré. Nous verrons plus tard que réciproquement toutes les courbes représentées par l’équation du second degré • jouissent des propriétés qui servent de définition en Géométrie élémentaire, de telle sorte que les deux modes de définition sont équivalents.

En résumant la discussion, on voit que c’est le signe de la quantité B’ — 4AC qui indique l’espèce de la courbe représentée par l’équation du second degré; la courbe est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que la quantité B’ — 4AC est négative, positive ou nulle.

Toutefois il importe de se rappeler que l’équation ne représente pas toujours une courbe ni même un lieu; dans le cas où la quantité B’ — 4AC est négative, l’équation représente une ellipse, ou un point, ou n’est vérifiée par les coordonnées d’aucun point du plan ; dans le cas où la quantité B* — 4AC est positive, l’équation représente une hyperbole ou deux droites qui se coupent ; enfin, dans le cas où B* — 4AC=0, on a une parabole, ou deux droites parallèles, ou une seule droite, ou rien.