LIV. III, CHAP. III.— RÉDUCTION DE L’ÉQIIATION
mètre ; si l’on veut que les coordonnées soient rectangulaires, on prendra pour axe des x l’axe de la courbe.
C’est à l’aide de ces deux formes d’équations, en coordonnées rectangulaires, que nous démontrerons la plupart des propriétés des courbes du second degré. Nous allons expliquer la marche à suivre pour effectuer la réduction de l’équation. Soit (4) A^’-fbxy + C//* + Dar + Ey-)- F =0 une équation du second degré, en coordonnées rectangulaires; si les coordonnées étaient obliques, on ferait une première transformation pour les rendre rectangulaires.
ELUPSE ET I1VFEBB0LB.
‘141 — Examinons d’abord le cas où la quantité B*— 4AC est différente de zéro; la courbe admet un centre unique, dont les coordonnées a et b vérifient les deux équations (n° 126)
2 Aa + B6 + D = 0,
Ba + 2Cè + E = 0 ;
transportons les axes parallèlement à eux-mêmes au centre
C (fig. 72) ; nous savons que les termes du second degré ne changent pas, que ceux du premier degré disparaissent , et que le terme constant F, de la nouvelle équation est donné par la formule Da + E b
xy
Fig
-F. L’équation de
la courbe, par ce premier changement de coordonnées, se simplifie et devient
(2) A®,*-f Bar.y. + Cy.’+F^O.
Faisons maintenant tourner les axes des coordonnées supposés rectangulaires d'un angle a autour du centre C jiour les faire coïncider avec les axes de la courbe; les formules de transformation sont
x, =.x! cos a — y' si n a,
y, = x1 sin a + y’ rusa.
En substituant dans l’équation (2), on obtient la nouvelle équation
(3)(AcOS,a+Cs»n,a+Bs»naCOSa)x'*-l-(Asm,a-K;cOS’a— BsmaCOSaJÿ'1 + [2(C— A).smacosa+B(cos’a — sm,a)]a"'ÿ’+FI=0.
On peut disposer de l’angle a de manière à annuler le coefficient du terme en x'y pour cela, on posera
(4) 2(C — A) SIM a COÎ a -j- B(C0S* a — Stn*a)=:0,
(5) Bfa«ÿ*a + 2(A — C) tanga — B = 0.
Cette équation du second degré est la même que l’équation (10) dun°135, par laquelle nous déterminions la direction des axes de la courbe. Mais on peut résoudre l'équation (4) plus simplement en l’écrivant sous la forme
(C — A)st'n2a-f Bcos2a = 0,
d’où
(6) tang 2a = ^—
Si l’on exclut le cas où l’on a à la fois B=0, et A=C, ce qui est le cas du cercle, l’équation (6) admet une solution positive w moindre que it, et les diverses valeurs de l’angle 2a qui satisfont à l’équation (6) sont comprises dans la formule 2 a = i.) + k ir ,
dans laquelle k désigne un nombre entier quelconque positif ou négatif; on en déduit
Les diverses valeurs de a ne donnent que quatre directions différentes pour Taxe CX’; ces quatre directions sont opposées deux à deux et forment deux droites rectangulaires. Nous
Ci) . , ,
prendrons pour a la valeur y, qui est toujours positive et inférieure à Le terme en x'y' disparaît dans l’équation (3); il
reste à calculer les coefficients des termes en x1' et en y Si Ton pose
LIV. III, CHAP. III. -RÉDUCTION DK L’ÉQUATION. 121 M = Acos’a + Csm’a + Bîl'nafOia,
N = A *ifl *ot -j- C COS ' a — B lin a COJ a ;
on a
M — N== (A — C) (cos *a — sin * a) 2 B sin a cosa =(A — C)doj 2 a + Bttn 2 a.
L’équation (6) donne
sin 2a= , cos 2a— :
il en résulte
On calculera donc les deux coefficients M et N à l’aide des formules
Nous avons choisi la valeur de 2a positive et inférieure à «n2a ayant une valeur positive, il faudra mettre devant le radical le signe de B. De cette manière l’équation de la courbe est ramenée à la forme simple
(8) Mx/*4-Ny'*4-F, = 0.
Si l’on retranche les deex équations (7) membre à membre après les avoir élevées au carré, on obtient la relation 4MN = 4AC — B\
L’équation (8) représente une ellipse ou une hyperbole, suivant que les deux coefficients M et N ont le même signe ou des signes contraires.
PAHABOLE.
142— Quand B’— 4AC = 0, les termes du second degré dans l’équation proposée forment un carré parfait; on a, en
effet, en remplaçant A par sa valeur — ,
4 Ci
Kx' +toxy + Cy'=c(y'+^xy +^rtx'^=C.(y , et l'équation peut s’écrire
+ Dx+Ey+F=0.
Faisons d’abord tourner les axes des coordonnées autour de l’origine d’un angle « (fig. 73), à l’aide des formules de transformation
x=xlcosa-‘y,sina, y = x, sina-j-y, cos a; l’équation proposée devient
(10) C ^cosa— isina^J/.+^Sina-f-^-COSa^.j’
-f- ( Ü cos a-j-Esin a) x , + (E cos o — D sin a) y, -f - F = 0.
On peutdisposerdel’angle a de manière à annuler le coefficient dex, oudey, dans le polynôme qui est élevé au carré ; posons, par exemple,
Stria +ÿp COS a=0,
xy
d’où
(1 1 ) langa= —
Rg. 73. l'équation (10) se sim-
plifiera et prendra la forme
(12) Ny,' + Px1 + Qy, + F = 0.
On a
N— C ( cos a — — -sin a) =C f cosa-j-tanoasino ) = ,
V 2C J \ J cos* a’
et par suite
Quant aux coefficients P et Q, on les obtiendra en remplaçant sin a et cos a par leurs valeurs, ce qui donne
p 2CD — BE 0 2CE + BL)
l/.iC(A + C)5 /*.tC(A + C) ’
Si le coefficient P était nul, l’équation (12), ne renfermant plus x, , ne pourrait représenter que deux droites parallèles à l’axe OX,. Lorsquejce coefficient est différent de zéro, on trans-
LIV. III, CH VP. III.— RÉDUCTION DE L’ÉQUATION. 123 porte les axes parallèlement à eux-mêmes; en posant x^a+iï, yt=b- \-y' , l’équation (12) devient
On disposera des coordonnées a et b de la nouvelle origine A de manière à annuler le coefücient de y' et le terme constant, 2Nè + Q=0,
N6*+Pa + Q6 + F = 0,
ce qui donne pour a et b des valeurs finies et déterminées, et l’équation sera ramenée à la forme simple (13) Ny’’ + Pa/ = 0.
On a fait d’abord tourner les axes des coordonnées autour de l’origine de manière à rendre l’axe OX, parallèle à l’axe de la parabole; on a transporté ensuite les axes parallèlement à eux-mêmes au sommet A de la parabole. De cette manière la parabole est rapportée à son axe et à la tangente au sommet.
