L1V. III, CHAP. IV. — DE L'ELLIPSE

149 — Construction de l’ellipse par points.

On déduit de ce qui précède un moyen très-simple de construire l'ellipse par points. Sur chacun des deux axes de l’ellipse comme diamètre on décrit un cercle (flg. 77); du centre on trace un rayon quelconque qui coupe les deux cercles en M, et M,; par le point M, on mène une parallèle au petit axe, par le point M, une parallèle au grand ; le point d’intersection M de ces deux droites appartient à l’ellipse. Après avoir déterminé de la sorte un nombre suffisant de points, on fait passer un trait continu par tous ces points, et l’ellipse est ainsi construite.

150 — Construire les points d'intersection d’une ellipse et d'une droite.

Il est utile de savoir déterminer les points où une droite

donnée MM' coupe une ellipse

définie par ses deux axes AA', BB' (fig. 78), sans que l’ellipse soit tracée. Comme nous l’avons dit, l’ellipse peut être . considérée comme la projection orthogonale du cercle AB,A' décrit sur le grand axe AA' comme diamètre, et que l’on fait tourner autour de

AA' d'un angle ? ayant pour cosinus

Cherchons dans le plan du cercle la droite M,M't qui a pour projection MM' dans le plan de l’ellipse; soit N un point quelconque de la droite MM' , le point correspondant N, est placé sur l’ordonnée NQ à une distance telle que l’on ait NQ b

pour le déterminer on mènera la droite BN jusqu’à sa rencontre en H avec l’axe AA'; la droite B,H, se projetant suivant BH, coupe l’ordonnée QN au point N,. On obtiendrait de même un autre point quelconque de la droite M,M',; mais il est pluB

simple de se servir du point S où la droite MM' rencontre l’axe; la droite SN, a pour projection la droite donnée sur le plan de l’ellipse. Cette droite SN, coupe le cercle en deux points M,, M', ; les ordonnées M,P, M,'F détermineront sur la droite donnée les deux points M,M' où cette droite rencontre l’ellipse.

151 — Équation de la tangente.

Nous avons trouvé (n° 88) l’équation de la tangente à une courbe quelconque, l’équation de l’ellipse étant ramenée à la forme simple

la tangente a pour équation

on

le point de contact étant sur l’ellipse, on a

et par suite l’équation de la tangente devient

Le coefficient angulaire de la tangente a pour valeur —

On voit qu’en A et A' la tangente est perpendiculaire sur l’axe A'A, qu’en B et B' elle lui est parallèle, et que, quand le point de contact se meut sur l’ellipse de A en B, la tangente

fait avec A'A un angle obtus qui croît de^ à

La normale étant perpendiculaire à la tangente a pour équation