LIV. III, CHAP. IV. -DE L'ELLIPSE

159 — Construction de la tangente en un point de l’ellipse. Si dans l’équation de la tangente on fait'Y=0, on obtient

l’abscisse X = — du point T ou la tangente rencontre le pro-

longemeut du grand axe (fig. 79).

Comme cette valeur de OT est indépendante du petit axe 26 et de l’ordonnée y du point de contact, il en résulte que, si sur l’axe A' A on construit plusieurs ellipses, les tangentes aux points qui ont même abscisse passent par un même point T situé sur le prolongement de Taxe A'A. Or, parmi ces ellipses, se trouve le cercle AB, A' ; pour construire la tangente à l’ellipse au point M, on mènera une tangente au cercle au point M,, situé sur la même ordonnée, on joindra le point M au point T, où la tangente au cercle rencontre le prolongement de l’axe A'A ; la droite MT ainsi obtenue est la tangente à l’ellipse.

Cette construction revient à considérer la tangente à l’ellipse au point M comme la projection de la tangent: au cercle au point correspondant M,. En effet, quand on fait tourner le plan du cercle autour de l’axe AA' de l’angle <p, le point T où la tangente M,T rencontre l’axe, ne bouge pas, le point M, se projetant en M, la droite TM, aura pour projection TM ; c’est la tangente à l’ellipse.

Fig- 79.

153— Mener une tangente par un point extérieur P. Désignons par x, et y , les coordonnées du point P (flg. 80).

Soit PM la tangente demandée, appelons x et y les coordonnées du point de contact M ; le point M étant sur l’ellipse, on a l’équation ae* w* o* + 6*

Fig.so. La tangente au point M a pour équation

13i GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

cetle tangente devant passer au point P, son équation doit être vérifiée par les coordonnées du point P, ce qui donne l’équation de condition

xx, yy, o* 6*

Ainsi les deux coordonnées x et y du point de contact M sont déterminées par les deux équations simultanées

xx, yy,

di'+V-1-

Pour résoudre ces deux équations, on substituera dans la première la valeur

xx,

tirée de la seconde, ce qui conduit à l'équation du second degré

dont les racines sont les abscisses des points de contact M et M' des deux tangentes menées du point P. Cette équation, dans

laquelle on peut regarder - comme l’inconnue, aura ses racines réelles si la condition

est satisfaite, c’est-à-dire si le point P est en dehors de l’ellipse.

La résolution des deux équations simultanées (1) et (5) revient à chercher les points d’intersection des deux lignes représentées par ces deux équations. L’équation (t) représente l’ellipse proposée, l’équation (5) la droite des contacts MM'.

154 — Il est facile de construire géométriquement les lan-

LIV. III, CHAP. IV.— DE L’ELLIPSE, gentes menées du point P, en considérant l’ellipse comme la

projection du cercle AB, A (flg. 81). Cherchons dans le plan du cercle le point P, qui a pour projection le point P dans le plan de l’ellipse. Traçons dans le plan de l’ellipse la droite PB que nous prolongerons jusqu’à sa rencontre avec l’axe en H; la droite HB,, ayant pour projection HB, passera par le point P, et déterminera ce point. Du point P, menons au cercle des tangentes P,M, , P,M/ que nous prolongerons jusqu’à leur rencontre avec l’axe en T et T' ; les droites PT, PT', projections des tangentes au cercle, seront tangentes à l’ellipse, et les points de contact M et M' seront situés sur les ordonnées des points M,, M/.

Pour que l'on puisse effectuer ces constructions, il n’est pas nécessaire que l’ellipse soit tracée.

155 — Mener une tangente parallèle a une droite donnée. Soit

y = mx

l’équation de la droite donnée OL, que l’on peut supposer me-

à m, on a la seconde équation

née par le centre (flg. 82).

Appelions x et y les coordonnées du point de contact M; ce point étant sur l’ellipse, on a l’équation

le coefficient angulaire de la tangente devantêtreégal

Ces deux équations simultanées déterminent les deux inconnues «et y, la première représente l’ellipse proposée; la seconde une droite MM' passant par le centre ; les points où cette droite rencontre l’ellipse sont les points de contact.

156 — 11 est facile de construire ces tangentes géométriquement. Cherchez d’abord dans le plan du cercle le diamètre OL, qui a pour projection OL sur le plan de l’ellipse ; il suffit de joindre le point B à un point quelconque L de la droite OL et de prolonger la droite BL jusqu’à sa rencontre avec l’axe en H ; puis de joindre B,ll et de prendre le point d’intersection L, de cette droite avec l’ordonnée du point L; le point L étant la projection du point L,, la droite OL est la projection de OL,. Menez au cercle des tangentes M,T, M/T', parallèles à OL, (il suffit pour cela de mener un diamètre M,M/ perpendiculaire à OL,) ; par les points T et T' où ces tangentes rencontrent l’axe, menez des parallèles TM, T'M' à la droite OL, vous aurez les tangentes demandées, car les projections OL, TM des droites parallèles OL,, TM, sont elles-mêmes parallèles; vous obtiendrez les points de contact M et M' par les ordonnées des points M, et M/.

15 7— On peut obtenir l’équation de la tangente à l’ellipse sous une autre forme qu’il est bon de connaître. Cherchons les points d’intersection de l’ellipse

‘ïl + yl-i

et de la droite

. y=mx + k.

L’élimination de y conduit à l’équation du second degré

dont les racines sont les abscisses des points d'interseclion. Quand cette équation a ses racines réelles et inégales, la droite

LIV. III, CHAP. IV — DK L’ELLIPSE, rencontre l’ellipse en deux points ; c’est une sécante. Quand les racines deviennent égales entre elles, ce qui a lieu lorsque la condition

kr = a’m* + b'

est remplie, les deux points d’inlerseclion se confondent, et la sécante devient tangente. Si l’on remplace la constante k par sa valeur, l’équation de la tangente se présente sous la

forme

(6) y = mx± / a'm’ + ét.

Cette équation, dans laquelle le paramètre m est arbitraire, représente toutes les tangentes à l’ellipse. Si l’on donne le coefficient angulaire m ou la direction de la tangente, l’équation est entièrement déterminée, et, à cause du double signe, on a deux tangentes parallèles et à égale distance du centre.

ISS — Cette forme donnée à l'équation de la tangente est utile dans un grand nombre de questions. Pour en montrer

Y = mX

la tangente devant passer de condition

un exemple, proposons-nous le problème suivant : Trouver le lieu du sommet d’un angle droit circonscrit à l’ellipse. Supposons que l’on veuille mener par un point extérieur (fig. 83), ayant pour coordonnées x et y, des tangentes à l’ellipse; si l’on représente la tangente par l’équation

ir le point P, on aura l’équation

y = mx± / a»m* + b*,

dans laquelle le coefficient angulaire m est l’inconnue. Cette équation, mise sous forme entière,

m* (a* — æM + Sxyro-f (6* — y«) = 0 est du second degré ; ses deux racines donnent les directions des deux tangentes menées du point P à l’ellipse, et, par consé-

quent, déterminent ces tangentes. Les deux tangentes menées par le point P seront rectangulaires, si le produit des deux valeurs de m est égal à — 1 , ce qui exige que les coordonnées du point P vérifient la relation

Ainsi le lieu du sommet d’un angle droit circonscrit à l’ellipse est le cercle circonscrit au rectangle construit sur les axes.

DIAMÈTRES

150— Nous avons trouvé (n° 129) l’équation générale des diamètres dans les courbes du second degré. En représentant par f (x, y) l’équation de la courbe, et par m le coefficient angulaire des cordes parallèles MM' (fig. 84), nous avons vu que l’équation du diamètre Diy se met sous la forme

fx + mfy=0.

L’ellipse étant rapportée à ses axes, l'équation du diamètre se réduit à 2x 2 my a,+ 6* ’

Si l’on désigne par m' le coefficient angulaire du diamètre DD', on a, entre la direction des cordes et celle du diamètre, la relation

(7) mm' = .

Nous avons vu aussi que si Ton mène des cordes MM" parallèles au diamètre I)iy, le diamètre EE' qui divise ces cordes en deux parties égales a pour coefficient angulaire m; les deux diamètres Diy, EE' forment un système de diamètres