LIV. III, CH AP. IV.— DE L’ELLIPSE

conjugués, et leurs coefficients angulaires m' et m sont liés par la relation (7).

Celle relation fait voir que les deux coefficients angulaires m et m' sont de signes contraires, et par conséquent que les deux demi-diamètres conjugués OD et OE sont situés de part et d’autre du petit axe ; si le premier part de la position OA et tourne de OA vers OB, le second part de la position OB et tourne de OB vers OA'.

400 — La tangente en un point quelconque D de l’ellipse est parallèle au diamètre EE' conjugué du diamètre Diy qui passe au point de contact. En effet, si l’on appelle a; et y les coordonnées du point D, le diamètre OD a pour coefficient

angulaire

m = — ; le coefficient angulaire de la tangente au

point D est m'=

— — ; on voit que ces deux coefficients a* y 1

vérifient la relation mm' = -.

On se rend bien compte de cette propriété en imaginant que la sécante MM' se meut parallèlement au diamètre EE', et s’éloigne du centre ; les deux points d’intersection M et M' se rapprochent de plus en plus du milieu de la corde , et finissent par se confondre en D ; alors la sécante devient tangente au point D.

161 — Les propriétés des diamètres conjugués se montrent immédiatement, quand on considère l'ellipse comme la projection d’un cercle. Deux diamètres rectangulaires OD, , OE, (fig. 85) , dans le plan du cercle, forment un système de diamètres conjugués ; car chacun d eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre; les cordes parallèles se projettent sur le plan de l’ellipse suivant des cordes parallèles;

le milieu d’une corde a pour projection le milieu de la projection de la corde; chacun des diamètres 0D et OE, projections des premiers, divise donc en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre ; ce sont deux diamètres conjugués de l’ellipse.

On en déduit facilement la relation qui existe entre les coefficients angulaires m et m' de deux diamètres conjugués. Si l’on appelle m, et m,' les coefficients angulaires des deux diamètres conjugués OD,, OE, du cercle, on a b «

d’où mmf =—,»»,»»/; puisque les diamètres conjugués du

cercle sont rectangulaires, on a — t; il en résulte

Quand on donne un diamètre OD, on peut trouver le conjugué OE, sans que l’ellipse soit tracée. On construira le diamètre OD, qui a pour projection OD; on mènera le diamètre OE, perpendiculaire à OD,, et on projetlera OE,; la projection OE sera le diamètre demandé.

16 2— Ellipse rapportée à deux diamètres conjugués. Nous avons vu (n° 138) que, lorsqu’on prend pour axes des

coordonnées deux diamètres conjugués Diy, EE' j, d’une ellipse, l’équation de la courbe se simplifie et se met sous la forme Mi/> + Ny'* = H.

Désignons par 2a' et 2 b1 les longueurs des diamètres conjugués; si, dans l’équation précédente, on fait successivement y=0 et *=0, on a