LIV. III, CHAP. IV.— DE L’ELLIPSE
(14) a1' + V' = a' + b'; ainsi la somme des carrés de deux diamètres conjugués quel conques est constante et égale à la somme des carrés des axes.
165 — En décomposant chacun des termes de l'équation (9) en deux facteurs, on peut écrire cette équation sous la forme a' cos a a' cos a . a'sina a'sina
a' cos a ( a! stn a
si l’on remplace les seconds facteurs a C°S a Sl" - par les
.... . . b' sin p bé cos p .
quantités égalés — g — , ^ — , il vient
a' b' ( sin p cos a — sin a cos p)
ou
(14) a'VsiniP — a)=ab.
Le produit a1 b1 sin (p — a) est la mesure de l’aire du parallélogramme ODKE (fig. 87) ; en multipliant par 4, on obtient l'aire du parallélogramme circonscrit FGHK. Ainsi l’aire du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués quelconques est constante et égale au rectangle construit sur les axes.
Le parallélogramme inscrit DED/E/, qu’on obtient en joignant les extrémités des diamètres conjugués, est la moitié du précédent, et a aussi une aire constante.
166— On peut démontrer facilement ces théorèmes en considérant l’ellipse comme la projection d’un cercle.
Deux diamètres conjugués OD et OE de l’ellipse sont les projections de deux diamètres rectangulaires OD, et OE, du cercle (flg. 85). Les angles D,OP, E,OQ étant complémentaires, les triangles rectangles D,OP, E,OQ sont égaux, et l’on a
OQ=D,P; maisOP2-f-D,Pî=OD,â = aî j il en résulte ÔP* +0Ü* = o*.
Les longueurs OP et OQ étant les projections des deux demi-
diamètres conjugués OD et OE sur le grand axe de l’ellipse, on voit que la somme des carrés de ces deux projections est constante, ce qu’on écrira de la manière suivante a'* cos a + bn cos' p = a*.
Il en est de même pour l’autre axe. Les projections des deux demi-diamètres conjugués sur le petit axe sont égales aux
coordonnées DP etEQ; mais DP = ^D,P, EQ = -^ E,Q, et par
suite DP* + EQ = “ï (D,P* + E,Q*) ; les longueurs E,Q et OP
étant égales, on a D,I* -f E,Q* = D,P* + OP* = a*, et par suite
DP‘ + ËQ‘=6*,
a/,«'n*a + 6',sm*p = 6,,
En ajoutant membre à membre les deux relations précédentes, on obtient la relation
107— Pour démontrer la propriété relative à l’aire du parallélogramme, nous nous servirons du théorème suivant : La projection d’une aire plane sur un plan est égale à l’aire projetée multipliée par le cosinus de l’angle des deux plans.
Considérons d’abord un triangle ABC (flg. 87) ayant un côté AB parallèle au plan de projection ; nous pouvons supposer
que le plan de projection passe par ce côté AB; du sommet C abaissons sur ce plan une perpendiculaire CC' et, dans ce plan, menons C'D perpendiculaire à AB; la droite CD sera aussi perpendiculaire à AB et l’angle CDC' mesurera l’angle dièdre ? des deux plans. Cela posé, on a C'D = CD cos f ,
d’où
ABxC'D AB X CD
FiB. = ros f ,
