LIV. III, CHAP. IV.— DK L’ELLIPSE

et par suite

AC' B = ACBx cos ».

Ainsi l’aire du triangle AC'B est égale à celle du triangle ACB multipliée par cos 9.

Supposons maintenant que le triangle ABC (fig. 88) n’ait aucun de ses côtés parallèle au plan de projection ; nous pouvons faire passer ce plan par le sommet A, de telle sorte que les deux autres sommets soient d’un même côté ; le plan du triangle prolongé coupe le plan de projection suivant une droite AI et la droite CB perce ce plan au point I ; les triangles AIC, A1B se projettent suivant AIC', AIB',et l’on a, d’après ce qui a été dit,

AIC' = AIC X cos f,

A1B' = AIB X ros 9;

Fie. SS.

d’où, par la soustraction,

AB'C' = ABC x cos 9.

Le théorème, étant démontré pour un triangle, s’étend à un polygone plan quelconque, que l’on peut toujours décomposer en triangles, cl même à une aire plane limitée par une courbe fermée quelconque ; car on peut toujours considérer cette aire plane comme la limite de l’aire d’un polygone inscrit, dont on augmente indéfiniment le nombre des côtés de manière que chacun tende vers zéro.

Quand on considère l’ellipse comme la projection d’un cercle, le parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués est la projection d’un carré circonscrit au cercle ; le carré ayant une aire constante égale à 4 a’, celle du parallélogramme est aussi constante et égale à 4 a‘cos 9, c’est-à-dire à 4 a b.