Exemple IX. Construire la courbe donnée par l'équation
La valeur de p s'annule pour w = o, et devient infinie pour w = - ; me-
nons par le pôle la droite L'L, qui
fait avec l'axe polaire l'angle -
(fig .254). Lorsque w varie de o à ,
p est négatif et varie de o à — oo ; on a une branche infinie OA'B', tangente à l'axe polaire et comprise dans l'angle X'OL'. Quand w
dépasse - et croît de • àoo, p devient positif et décroît deooàa; on obtient une branche infinie BA qui fait une infinité de circonvolutions autour du cercle décrit du pôle comme centre, avec a pour rayon, en se rapprochant constamment du cercle. Quand w varie de o à — oo , P reste positif et va en croissant de o à a, ce qui donne la branche OE' intérieure au cercle; cette branche fait une infinité de circonvolutions en se rapprochant aussi constamment du cercle.
Considérons les branches infinies A'B', AB ; l'abscisse d'un point de l'une d'elles, par rapport aux axes indiqués au n.° 582, est
k' = P sin ( - — w j = — c
sa limite est ; les deux branches ont donc pour asymptote Ja
droite CD, dont l'abscisse est </ = •
Si Ton pose w :
: - + <*>', on a
> = af — q :
- [»' — (i + 2w') sin w*].
La quantité placée entre parenthèses s'annule pour w = o; sa dérivée première s'annule aussi, mais sa dérivée seconde est négative; si Ton fait croître o»' à partir de zéro, on en conclut que la dérivée première commence par décroître, et, par suite, est négative, et de même la quantité elle-même ; ainsi la différence 5 est négative pour les valeurs positives de o>' suffisamment petites. On reconnaît de la même manière que la différence ô est positive pour les valeurs négatives trèspetites de w', ce qu'on voit d'ailleurs directement; ainsi les deux branches infinies sont situées par rapport à l'asymptote, comme l'indique la figure. Il est évident, en outre, que cette asymptote est coupée par la courbe en un nombre infini de points. 387. Exemple X. Construire la courbe
Le rayon vecteur reprenant la même valeur quand w augmente de 2?t, il suffit de faire varier w de o à 2«. Pour que le rayon vecteur soit réel, il faut que la fraction placée sous le radical soit positive. Le numérateur
change de signe pour les valeurs -, tt attribuées à w, le dénominateur pour les valeurs o et w ; en rangeant ces angles par ordre de grandeur
5tc
on voit que la quantité placée sous le radical est négative de o à - , posi-
tive de - à —, négative de -r- à n.
positive de rc à 2^; on obtiendra
donc toute la courbe, en faisant va-
rier w de - à — , et de « à 2ir. On 6 6
remarque d'ailleurs que, les valeurs supplémentaires de w reproduisant les mêmes valeurs de o, la courbe est symétrique par rapport à la perpendiculaire OY
à l'axe polaire OX (iig. 255)
Du pôle comme centre, avec un rayon égal à l'unité, décrivons un cercle : ce cercle divisera en deux parties égales chacune des cordes qui
464 LIVRE kY, CHAPITRE IV.
passent par Je centre; quand « varie de - à ~, la valeur du radical
croît de o à i, ce qui donne les deux arcs AB et AO, qui se raccordent au point A, tangentiellement à la droite OA; l'arc AO est tangent au
point O à la droite OY. En faisant varier w de -à — , on obtiendra
l'arc BA'O, symétrique de BAO, par rapport à la droite OY.
Quand w varie de n à — , la valeur du radical décroît de 00 à y 3,
ce qui donne les deux branches infinies EF et CD; en faisant varier ta
de — à au, on obtiendra les deux branches FE', DC, symétriques des
précédentes; ces branches inlinies sont asymptotes à l'axe polaire.
388. Remarque. Nous avons vu (n° 382) que lorsque le rayon vecteur devient infini pour une valeur finie a de a>, la position de l'asymptote est déterminée par la formule <7=limpsin(a — w).
Le premier facteur devient infini, le second tend vers zéro. Dans les exemples précédents, on a pu découvrir sans peine ce que devient le produit pour des valeurs de w voisines de a. Quand la difficulté est plus grande, on a recours à une autre méthode.
De la formule précédente on déduit
— -lim -r—t r X -±—
q sin (w — a) w — a
La limite du premier rapport est égale à l'unité. Si l'on considère - comme une fonction de w, le numérateur du second rap-
P port estl'accroissement qu'éprouve cette fonction quand l'angle
polaire passe de la valeur a à la valeur w ; la limite de ce second rapport est donc la dérivée de -, et l'on a
Ordinairement la valeur de p se présente sous la forme
pour w = a.
tjo
p = J±), le dénominateur s'annulant pour w=a, tandis que le
numérateur conserve une valeur finie différente de zéro. On en déduit la dérivée
/iy F (»>)/»-/>) r>)
V F2(oj)
qui se réduit à =-7-^ pour w=a. Ou arrive ainsi à la formule
qui est très-commode dans la pratique.
EXERCICES
i° Trouver le lieu du sommet d'une parabole variable qui a un foyer fixe et qui toucbe une conique qui admet le même foyer (limaçon de Pascal).
20 Le sommet 0 d'un triangle variable AOB est fixe, le sommet B glisse sur une droite OX ; on demande le lieu décrit par le point de rencontre de AB avec la perpendiculaire élevée au point 0 au côté OA. 3° On donne un point fixe 0 et une droite fixe OP ; on demande le lieu du sommet M d'un triangle variable MON qui remplit les conditions suivantes : le côté ON a une longueur constante a, le côté NM = a 1/2, enfin les angles vérifient la relation cos (MON — 2OMN) — cos MOP (lemniscate) ; démontrer que la tangente en un point quelconque M du lieu passe au centre du cercle circonscrit au triangle qui a donné ce point.
4° Étant donné un triangle AOB rectangle en 0, on circonscrit à ce triangle une conique variable telle que les normales aux trois points A,0,B passent par un même point; on demande le lieu de ce point. 5° Trouver le lieu des foyers des paraboles qui ont une corde commune et une tangente commune parallèle à cette corde.
6° Trouver le lieu des sommets ou des foyers d'une hyperbole équilatère, dont le centre est fixe et qui passe en un point fixe.
7° Trouver le lieu du centre d'une hyperbole équilatère donnée, assujettie à passer par deux points fixes.
8° On donne un angle droit YOX, et un point fixe P sur la bissectrice de cet angle ; on demande le lieu du pied de la perpendiculaire abaissée du point P sur une sécante variable qui intercepte dans l'angle un triangle dont l'aire est constante.
90 En un point quelconque M d'une parabole on mène la normale que l'on prolonge jusqu'au point N où elle rencontre l'axe ; on demande
GÉOM. ANALYT. 80
le lieu du point de rencontre de la tangente en M à la courbe avec la perpendiculaire à Taxe au point N.
io° On remplace la parabole du problème précédent par une hyperbole ; on prend le point N sur l'un des deux axes de la courbe ; trouver le lieu.
no Une parabole tourne autour de son foyer; on demande le lieu des points de contact des tangentes menées parallèlement à une droitedonnée.
i2° Trouver le lieu du point milieu d'une corde normale à une hyperbole donnée.
i3° Étant donnée une ellipse, le centre d'un cercle de rayon constant parcourt un diamètre de l'ellipse ; trouver le lieu des points de concours des sécantes communes au cercle et à l'ellipse.
i4° Étant donnée une hyperbole équilatère, le centre d'un cercle, qui passe constamment parle centre de l'hyperbole, décrit une asymptote ; trouver le lieu des points de concours des sécantes communes.
i5° Lieu des points de contact des tangentes menées d'un point donné aux cercles qui touchent une droite donnée en un point donné.
i6° Lieu des points de contact des tangentes menées d'un point donné aux cercles qui passent par un point donné et qui touchent une droite donnée.
170 Trouver le lieu des milieux des cordes inscrites dans une hyperbole donnée et tangentes à un cercle concentrique à l'hyperbole»
i8° Construire les lieux représentés par les équations
yk — a?4 -f 2ax2y = o, a?4 + yk — 2a3?/ — sb2xy = o,
(as2 + y2) 2—6axy2 — lax* + 2a2sc2 = o, y = a + 6 (ac— -c)m9
#4 j^4 — 3^3 — 4a»8 =0, xdy3 + y — #=0,
yk — a?4 — 2bxy2 — 2aœ*= o, yk — a?4 — 3a?2?/2 — 2oc=o^
y4 __ œ4 — 96a22/2 + 1 ooa2a32 =s o, 2a:3 — yz -f (y — x)2 = o.
19° Construire les courbes représentées par les équations « sin y — sm x = o, sm x sin y =
ex
' = — 9 y — xx, xy = yx.
2o° Construire les courbes représentées par les équations
sin <*> + 4 /sin 3m
V 2C0SW-I V COSO)
p2 cos w — 2p sin w + cos2w = o, p2 cos w — 4P sin w — tang ,
23° Une conique variable circonscrite à un triangle ABC est telle que les normales à la conique aux points ABC concourent en un point M, Lieu géométrique de ce point M.
240 Une conique variable inscrite d^ns un triangle ABC est telle que les normales à la conique aux points où elle touche les côtés concourent en un point N. Lieu géométrique de ce point N.
(Ce lieu est le môme que le précédent.)
25° Lieu des points de concours des tangentes communes à une conique fixe S et à une conique variable passant par quatre points fixes ABCD.
a) Les points ABCD étant quelconques, le lieu est une courbe du sixième ordre ayant pour points doubles les centres des couples de droites passant par les quatre points.
b) Si deux des points, A et B par exemple, sont sur la conique fixe S le lieu se décompose en une conique et une courbe du quatrième ordre.
c) Si trois des points, A, B, C par exemple, sont sur S, le lieu se compose de trois coniques.
d) Si les quatre points A, B, C, D sont sur S, le lieu se compose de drciies.
a6° Lieu des points de contact des tangentes communes à une conique fixe S et à une conique variable passant par quatre points fixes A, B, C, D.
On examinera, comme dans l'exercice précédent, les réductions qui se présentent quand un certain nombre de côtés ou de diagonales du quadrilatère ABCD touchent la conique fixe S.
2i° Construire la courbe définie par l'équation
y = x sin — •
Cette courbe, qui passe à l'origine, n'admet pas de tangente en ce point.
22° Enveloppe des droites telles que les segments déterminés sur elles par deux coniques fixes aient le même milieu. — Examiner le cas où les deux coniques ont en commun un diamètre conjugué d'une même direction de cordes.
23° La droite ayant pour équation en coordonnées rectangulaires
a? sin a — y cos « = a cos Ara,
a pour enveloppe, quand a varie, a et k restant constants, une hypocycloïde ou une épicycloïde (n° 378). Trouver le lieu des points d'où on peut mener à la courbe enveloppe des tangentes rectangulaires. Examiner les cas particuliers h = 2, Jc — d.
Fi». 256.
