Exemple IV. Construction de la courbe p = 4 + cos

Le rayon vecteur p reste

^ 'p^rL^ toujours compris entre 3 et

ti/'' / j ) \N 5; décrivons du pôle comme

,{\^P\' ""7'"*\( \ centre deux cercles avec les

/V )x \ / ^N? \ rayons 3 et 5, la courbe sera

/ y \\// i^Nî tout entière située entre les

! J\ /'7\x / J^ ** ^eux circonférences (fig. 247)»

\f y\^ ! \ /Jb™ / Quand w varie de o à—, pdimi-

â"\- — ^b^\ \ J / nue de 5 à 3, ce qui donne Tare

***— — -^a!» ÀB. Quand w varie de — à -->

Fig* 247, p augmente de 3 à 5, ce qui

donne Tare BA' symétrique du premier par rapport à la ligne OB.

L'angle 5o> a varié de la sorte de o à 27U. Si l'on fait varier w de -^ à -~>

l'angle 5u> variera de arc à 4* et les mêmes valeurs de p se reproduiront dans le même ordre; on obtiendra donc un second arc A'B'A" égal au premier, puis un troisième, et ainsi de suite. Après le cinquième arc, on reviendra au point de départ. En prenant la dérivée, on trouve

tangV= — „ .p „ . Aux points A et Bon a sin 5a>=o, et, par suite. 0 5 sm 5w r r

380. Exemple V. Les extrémités d'une droite de longueur constante glissent sur deux droites rectangulaires OX, OY; d'un point fixe I, situé sur la bissectrice, on abaisse une perpendiculaire sur la droite mobile; trouver le lieu du pied de cette perpendiculaire (fig. 248).

Il est évident que le lieu sera symétrique par rapport à la bissectrice 01. Plaçons d'abord la droite mobile dans la position PQ perpendiculaire à la bissectrice, on a le point A du lieu. Faisons glisser la droite de manière que l'extrémité Q descende sur l'axe des y; dans une certaine position P'Q' la droite passera par le point I, qui appartient au lieu; on a ainsi l'arc AEI, dont la tangente en I est perpendiculaire à P'Q'. L'extrémité Q' continuant à descendre, la droite vient s'appliquer sur OX, et l'on a l'arc IFG qui passe au point C, pied de la perpendiculaire abaissée du point I sur OX. L'extrémité Q glisse ensuite sur OY', et la courbe passe au-dessous de OX; la droite arrive dans une position P"Q" telle que l'angle IP"Q" est droit, ce qui donne le point P7 du lieu; on a ainsi l'arc CGP". Si l'extrémité Q" continue à descendre, la courbe revient au-dessus de OX; bientôt, dans la position P'"Q'", la droite prolongée passe en I; on a ainsi l'arc P"I dont la tangente en I est perpendiculaire à P"'Q"\ L'extrémité P'" continuant

à se rapprocher du point 0, la droite s'applique sur OY' et l'on obtient l'arc 1HD, qui passe par le point D, pied de la perpendiculaire

Fig. 248.

abaissée du point I sur OY. L'extrémité P'" glisse ensuite sur OX', et la droite arrive dans une position P,VQ1V, telle que l'angle IPIVQ1V est droit; le point PIV appartient au lieu, et l'on a l'arc DPIV. Enfin la droite, dans la position QVPV, devient perpendiculaire à la bissectrice OB, ce qui donne l'arc PIVB. Si, revenant à la position primitive PQ, on fait mouvoir la droite en sens inverse jusqu'à la position finale PVQV, il est clair qu'on obtiendra une courbe symétrique de la précédente par rapport à la droite AB.

Prenons pour pôle le point I et pour axe polaire la bissectrice BA ; appelons c la distance 01 et 2a la longueur de la droite mobile PQ; la droite qui joint le point 0 au milieu de l'hypoténuse PQ du triangle rectangle POQ est égale à a; l'angle que cette droite fait avec la perpendiculaire h abaissée du point 0 sur l'hypoténuse est égal à 2w ; on a d'ailleurs /i = ccosw + p; on en déduit l'équation de la courbe p=racos 2w — ccôsw.

CONCAYITE ET CONVEXITE.

381. Considérons sur un arc de courbe un point M, ayant pour coordonnées <o0 et p0 ; la tangente en ce point sera repré-

sentée par l'équation r= ~ — — , si Ton appelle q la Ion-

r ^ COS (6) — p)

gueur de la perpendiculaire abaissée du pôle sur la tangente et p l'angle que fait cette perpendiculaire avecl'axe polaire (n° 82). La position de la courbe par rapport à la tangente, dans le voisinage du point M, dépend du signe de la différence r — p des rayons vecteurs pour une même valeur de 03, ou de la différence -, nous supposerons les rayons vecteurs positifs.

Appelions z cette dernière différence; la valeur de z est évidemment nulle au point M ; sa première dérivée

est aussi nulle; car on a, au point M (na 375),

fl\' p' cotV . , ON Tr . Tr

(-) = — ^ = , sin (w0 — p) = cos V, g = p0sinV.

V' P Po

La seconde dérivée,

cos(q>-p)^iy | 1^

vp/ ? ^ \p/ r

acquiert au point M une valeur égale à celle de l'expression

- + [-]. En répétant iei le raisonnement du n° 344, on verra

que, si cette quantité est positive, la différence z est elle-même

positive dans le voisinage du point M, et par conséquent la courbe est placée du côté de la tangente où est le pôle, et que, si au contraire cette quantité est négative,. la différence z est négative, et la courbe placée de l'autre côté de la tangente. Si le rayon vecteur p est négatif, on voit, par des considérations identiques, que la courbe est placée, par rapport à la

tangente, du côté du pôle quand la quantité - -j- (- est néga-

P \p/ tive, et de l'autre côté si cette quantité est positive.

En résumant les deux cas, on peut dire que, en un point M, la courbe tourne sa concavité ou sa convexité vers le pôle suivant que le produit ■ r /y

est positif ou négatif en ce point.

Il y a inflexion, auand la quantité - + (- ) change de signe.

382. Considérons une branche infinie, asymptote à la droite CD (flg. 249); si Ton joint le pôle à un point M de la courbe, et si l'on suppose que le point M s'éloigne indéfiniment sur la courbe, la direction OM aura pour limite une parallèle OL à l'asymptote. Ainsi, lorsque le rayon vecteur p devient infini pour une valeur particulière a de <o, si la branche ainsi obtenue a une asymptote, cette asymptote est parallèle à la direction déterminée par V angle a qui rend p infini.

Pour avoir la distance OC de l'asymptote à la droite OL, du point M de la courbe abaissons une perpendiculaire MK sur cette droite ; le triangle MOK donne

MK = OM sin KOM = ± p sin (a — 10). Si le produit ± p sin (a — w) ne tend vers aucune limite, la branche infinie n'a pas d'asymptote. Si, au contraire, ce produit tend vers une limite finie, la branche de courbe admet pour asymptote la droite CD, située à une distance OC du rayon OL égale à cette limite ; car la distance MK ayant pour limite OC, la distance MH aura pour limite zéro.

Voici une autre démonstration. Consevons que la branche do courbe infinie soit rapportée à deux axes rectangulaires

menés par le pôle, l'un Oy' dans la direction a, l'autre Ox' dans la

direction a . Si l'on prend Qx'

pour nouvel axe polaire, on aura

' = w — (ol j, et l'abscisse x*

d'un point M sera, dans tous les cas (n° 375),

Fig. 250.

: p COS w'=p COS ( w — oc-fr - j = p sin (a — w).

On est ramené ainsi à la recherche d'une asymptote parallèle à Taxe Oy\ L'abscisse q de l'asymptote est la limite de x\ quand le point M s'éloigne à l'infini sur la branche de courbe; on a donc

# — limpsin(a — w).

La valeur absolue de q donne la distance de l'asymptote à la droite Oy' ; le signe indique de quel côté elle est placée.

383. Exemple VI. Hyperbole. L'équation polaire de cette courbe est (n° 263) p= , dans laquelle e est plus grand que i. Soit a

l'angle dont le cosinus est ; quand w croît de o à a, p croît de

à oo , et l'on a la branche infinie AE ; w variant de a à w, p devient négatif et varie de

— oo a - — , ce qui

donne la branche infinie E'A'. Les valeurs de w comprises entre « et 2tc donnent deux branches symétriques des précédentes par rapport à Taxe polaire.

La distance MKd'un point de Tune des branches AE, Fig. 25i. A'E' à la droite OL est

p sin (a — «) p sin (a — w) p sin (a — w)

MK = = ; .

i+ecosw /i \ e (cos w — cosa)

e( - + cos w J

Transformant en un produit la différence cos w — cos a, remplaçant sin (a — a>) par 2 sin ~J cos — - — , et supprimant le facteur com

. a — co

mun sin , on a

p cos -

MK =

e sm-

Cette distance a pour limite OC— . , et l'on obtient ainsi l'a-

r e sm a

symptote CD. L'asymptote des deux autres branches est placée symétriquement par rapport à l'axe polaire.

L'excès de la distance MK sur sa limite a pour expression a — w 2 i

a -jh a) sin a

cos-

2 sm a cos -

sm-

si Ton remplace le produit 2 sin a cos -

2 sin a sm ■

-par la somme

+ sin

il vient

3 a — co

2 sm a sm -

si Ton 'ransforme ensuite le numérateur en un produit, on a finalement

. a — ta p sm cos a

p sm-

e sm a sm «

e* sin a sin ■

Quand « varie de o à a, la différence 8 est négative ; ainsi la branche

AE est comprise entre les parallèles OL et CD. Mais, quand « varie de a à w, la différence 8 est positive, et la branche E'A' est située en dehors des parallèles.

384. Exemple VII. Strophoîde oblique. Dans la construction de la strophoîde droite, telle que nous l'avons donnée au n° 23, nous supposions les droites OX et OY rectangulaires ; supposons maintenant que ces droites fassent entre elles un angle 6 (fig. 252) ; par le point fixe A placé sur Tune d'elles, on mène une sécante quelconque AD , sur laquelle on prend, à partir du point D, des longueurs DM et DN égales à DO, et on cherche le lieu des points

Fig. 252.

MetN.

Quand la sécante tourne dans l'angle obtus XOY jusqu'à devenir parallèle à OY, le point M décrit l'arc OMB, terminé au point B sur la perpendiculaire OB à OY,- le point N décrit la branche infinie ON. Si

Ton prend une distance OG égale à OÀ, et que par le point G on mène une parallèle H'H à OY, on a l'asymptote de la branche ON; car l'oblique NF égale à AM, ayant pour limite AB, la distance du point N à la droite a pour limite zéro.

Faisons maintenant tourner la sécante dans l'angle aigu XOY'; la perpendiculaire élerée sur le milieu de OA coupe OY' en un point G, tel que l'on a CA = CO; quand la sécante occupe la position AC, l'un des points vient en A et l'autre en E; ainsi, la sécante tournant de la position AO à la position AC, on a l'arc OM'A tangent en A à la droite AC, et l'arc OE. La sécante continuant son mouvement, la droite OD' devient plus grande que AD' ou que D'F', et le point N' est situé au delà de l'asymptote ; on obtient la branche infinie EN' et l'arc AM"B qui se raccorde en B avec l'arc OMB. Il est aisé de voir que les tangentes au point 0 sont les bissectrices des angles formés par les droites OX et OY.

Si l'on prend le point 0 pour pôle, la droite OX pour axe polaire, que l'on appelle a la distance OA et 9 l'angle YOX, tes angles DOM et DMO étant égaux à 0 — o>, et l'angle OAD à 6 — sw, le triangle OMA donne la relation

asm (0 — 2w) W ~~~

sin (0 — (

On retrouve facilement, à l'aide de l'équation, les propriétés que nous avons déduites de la définition géométrique de la courbe.

Quand on prend la droite OY pour axe polaire, l'équation de la courbe devient

1 ' smw

38o. Exemple VIII. Trouver le lieu des points de contact des tangentes menées d'un point donné P aux diverses courbes du second degré ayant pour foyers deux points donnés F et F'.

Prenonspour axe la droite F'F (fig. 253), et la perpendiculaire élevée à cette droite en son milieu ; l'équation générale des coniques ayant pour foyers les points F et F' est

c désignant la distance OF et a un para-

Fig. 253. mètre variable ; lorsque a est plus grand

que c, la courbe est une ellipse ; lorsque a est plus petit que c, c'est une

hyperbole. Soient a, p les coordonnées du point donné P ; l'équation de

la corde des contacts des tangentes menées du point P à la conique (i) est

On obtient l'équation du lieu en éliminant le paramètre a entre les équations (i) et (2). Si l'on retranche ces équations membre à membre, il vient

œ2 — ax y2 — Py __

,,, n2 cHx*-«x) n2 -c2(y*-Py) .

x2 -\- y2 — *% — vy x2 + y2 — ux — ?y

en substituant dans l'équation (2), on obtient l'équation du lieu

(3) (a?2 + y2 — aœ — Py) (Pa? — ay) + c2 (x — a) (y — p) = o.

Le lieu est du troisième degré, il passe par le point donné P, par les foyers F et F7, et par les projections du point P sur les droites OX, OY. Si l'on transp orte les axes parallèlement à eux-mêmes au point P, l'équation du lieu devient

(4) {x2 + y2 + *x + Py) (Pœ — ay) + c2xy = o.

Si l'on transforme celle-ci en coordonnées polaires, en prenant pour pôle le point P et pour axe polaire la droite PX', on a

(C2 + P2 — a2) sin 2W+ 2Ctp C0S2W

^ 2 (a sin a) — p cos »}

A l'aide des angles auxiliaires <p et <p4, déterminés par les formules

P x 2ap

tang ? = -, tang 9l = c2 + p__a2>

cette équation prend la forme (6) P =

dsin (20) + çj

sin (« la lettre d désignant la quantité

iv/(c2 + P2-q)2 + 4«2P2 2V <x2 + p2

Si Ton fait tourner l'axe polaire de l'angle 9, l'équation (6) devient identique à l'équation (2) de la strophoïde oblique (n° 384). L'angle ? étant égal à PO A, l'asymptote est parallèle à la droite OP. Parmi les courbes horoofocales considérées se trouvent une hyperbole et une ellipse passant par le point P; on en conclut que le point P appartient au lieu et que les tangentes en ce point sont les bissectrices PQ, PQ' des angles formés par les droites PF et PF'. La strophoïde est définie

par deux droites PE, PI et un point I sur l'une d'elles. Nous connaissons la droite PE ; on obtiendra la droite PI en remarquant que la tangente PQ est bissectrice de l'angle EPI; on obtiendra le point I à l'aide de l'un des points du lieu, par exemple du point À; la droite IÀ doit être telle que l'on ait KA = KP; le point K est donc le point milieu de la diagonale OP.

La courbe précédente est aussi le lieu des pieds des normales menées du point P aux courbes du second degré qui ont pour foyers les points F et F'; car une ellipse et une hyperbole homofocales se coupant à angle droit, la tangente à l'une est normale à l'autre.