OA' — OB'- OC

le système des points ainsi obtenus est dit semblable Fig. 257. au système proposé etsem-

blablement placé.

Si les points A', B', C',... étaient pris sur les prolongements des rayons vecteurs en sens inverse, les deux systèmes seraient semblables et inversement placés. Par une rotation de 180 degrés autour du point 0, le second système coïncidera avec un des systèmes semblables et semblablement placés (fig. 257).

Pour abréger le langage, M. Chasles a désigné cette similitude de forme et de position par le nom à'homotkétie, directe dans le premier cas, inverse dans le second. Le point 0 est dit centre de similitude ou à'homothétie des deux systèmes, le nombre k est le rapport de similitude , et on appelle points homo-

logues les points A et A' placés sur un même rayon. Si Ton fait varier le rapport k de o à oo et aussi la position du centre 0 de similitude, on obtient tous les systèmes homothétiques au système proposé.

Un système est semblable à un système donné, lorsqu'il est égal à l'un des systèmes homothétiques au système donné.

390. On sait que Ton obtient toutes les courbes homothétiques à une courbe donnée S avec un seul centre de similitude O, pris à volonté dans son plan. Considérons maintenant quelques exemples.

i° La courbe S est un cercle. Si Ton prend le centre du cercle pour centre de similitude, la seconde courbe sera un cercle, dont le rayon pourra avoir telle grandeur que Ton voudra. 2° La courbe S est une parabole (flg. 258). La courbe étant rapportée à son axe et à la tangente au sommet, les coordonnées x et y d'un point quelconque M de cette courbe vérifient l'équation y2 = zpx. Si l'on prend le sommet pour centre de similitude et que Ton appelle x'ety'les coordonnées du point homothétique

M, on aura -1=^-/=-—/=:k9 dou x = kx\

Fig. 258. x y OU.

y=ky'\ la courbe homothétique est représentée par l'équation

y'* — ^P-x'; c'est une parabole, dont le paramètre peut avoir k

telle grandeur que l'on voudra, à cause du rapport arbitraire k;

on en conclut que deux paraboles quelconques sont semblables.

x2 y2 3° La courbe S est l'ellipse — + ^= i . Si l'on prend le centre de la courbe pour centre de similitude, la courbe homothétique, représentée par l'équation

oT + ¥~k2 est une ellipse, dont les axes peuvent avoir des valeurs quelconques proportionnelles à celles des axes de la première ellipse. On en conclut que deux ellipses sont semblables lorsque leurs axes sont proportionnels.

Le même théorème a lieif pour l'hyperbole. 4° La courbe S est la spirale logarithmique p =

■ae"

, Quand

on prend le pôle pour centre de similitude, les courbes homothétiques ont pour équation p^

ae"

, Si Ton pose k = éma,9 cette

équation devient p=am(w~~a); elle représente la spirale proposée, que l'on a fait tourner de l'angle a autour du pôle. Il en résulte que la seule courbe semblable à une spirale logarithmique est cette spirale elle-même; à un point M de la courbe correspond un autre point M' de la même courbe, et l'on peut prendre ce point M' à volonté, à cause du nombre arbitraire k.

EQUATION DES COURBES HOMOTHETIQUES.