Soit (i) .f(x,y) = o
l'équation d'une courbe S. Prenons l'origine pour centre de
similitude et construisons avec le rapport k une courbe S' homothétique à la première. Si l'on désigne par x et y les coordonnées d'un point quelconque M de la première courbe, par x' et y' celles du point homologue M' de la seconde, les triangles semblables OPM, OP'M' donnent x y OM
si l'on substitue dans l'équation (i), on a l'équation
(a) f{kx',ky') = o,
qui représente toutes les courbes homothétiques à la courbe
proposée et ayant l'origine pour centre d'homothétie. Dans
cette équation, on donnera à k une valeur positive lorsque
l'homothétie sera directe, une valeur négative lorsque l'ho-
mothétie sera inverse.
Laissant fixe la courbe S, transportons la courbe S' dans le plan, de manière que l'origine 0 vienne en 0' (p, q), et que les
axes restent parallèles à leurs directions primitives ; la courbe S' a pour équation, par rapport aux axes O'X' et O'Y',
f(kx',ky') = o, et, par rapport aux axes fixes OX et OY, (3) /[*(«— Jp),*(y — ?)] = o.
Dans cette nouvelle position, la courbe S' est homothétique à la courbe S ; car les rayons vecteurs menés des points 0 et 0' •sont parallèles et dans le rapport constant k. L'équation (3) représente donc toutes les courbes homothétiques à la courbe proposée, quelle que soit la position du centre de similitude.
392. En même temps que nous transportons l'origine en O', faisons tourner les axes de l'angle a; la courbe S' occupera alors une position quelconque dans le plan et sera simplement semblable à la proposée. La courbe S' rapportée aux axes mobiles O'X' et O'Y', a pour équation /' {kx', ky') = o ; au moyen des formules de transformation,
x' = (x — p) cos a + (y — q) sin a, y'— — (x — p) sin a -f- (y — q) cos a, les axes étant supposés rectangulaires, on obtient l'équation de la courbe par rapport aux deuxaxes fixes OX et OY. Cette équation représente toutes les courbes semblables à la proposée.
393. Comme application, cherchons les conditions pour que deux courbes du second degré
A^2 + zBxy + Cy2 + zDx + aEy -+- F = o, A'x2+ 2B'xy+ C'y2 + 2DVf 2E'y-f F'= o,
soient homothétiques. L'équation générale des courbes homo-
thétiques à la première courbe est (n° 391)
AÂ;^2+2B^2^+C^2y2-2(B^2ç+AA:2^-D^^-2(B^V+CA^--E% + (Ak2p2 + *Bk2pq + Gk2q2 — zT>kp — zEkq -f F) = 0.
En identifiant cette équation avec la seconde, on a
Api + zBpq + Cq*— jP-~Tq + p
L'élimination des trois paramètres j», q, Centre ces cinq équations, donnera deux équations de condition : or les deux premières équations —=—==—, ne renfermant pas les paramètres à éliminer, sont précisément les deux équations de condition. Donc, pou?" que deux courbes du second degré soient homothétiques, il faut que les coefficients des termes du second degré soient proportionnels.
394. Il reste à examiner si les valeurs des paramètres p, q, k sont réelles et finies ; on évite cette discussion de la manière suivante. Puisque les coefficients des termes du second degré sont proportionnels, on peut les rendre égaux en multipliant tous les termes de l'une des équations par un facteur convenable ; prenons donc les deux équations sous la forme
(4) Ax2 + iBxy + Cy2 + i\)x + aEy-f F = o,
(5) Ax2 + ^xy + Cy2 + aD'a?+ aE'y+ F'= o.
Nous distinguerons plusieurs cas suivant le signe de la quantité AC — B2.
i° AC — B2 = o. Les deux lieux sont du genre parabole ; si ces lieux sont effectivement deux paraboles, ils sont certainement semblables, puisque toutes les paraboles sont semblables ; de plus, les axes des deux courbes, ayant le même coefficient
angulaire — — , sont parallèles, et, par suite, les courbes sont
homothétiques.
a0 AC — B2 >o. Les lieux sont du genre ellipse. Si, pour chaque courbe, on transporte les axes parallèlement à euxmêmes au centre de la courbe, les équations (4) et (5) deviennent
(6) Ax2 + iSxy + Cy2 + H = o,
(?) Ax2 + zBxy + Cy2 + H = 0.
Les axes des courbes, dont les directions sont déterminées
par l'équation tang 2a=- — — (n° 141), sont parallèles; si Ton
fait tourner les axes des coordonnées de l'angle a, les équations
(6) et (7) se réduisent à la forme (8) A'a?f + Cy + H = of
(9) À'*» + cy+H'=o.
Les coefficients A' et C, dont les valeurs sont données par les relations
ont le même signe; pour que les équations (8) et (9) représentent deux ellipses réelles, il faut que les quantités H et H/ soient également de même signe et que, de plus, ce signe soit contraire au précédent. Lorsque cette condition est remplie, les axes des
deux ellipses ayant le même rapport!/ ■—,, les ellipses sont
homotbétiques.
3° AC — B2 < 0. Les deux lieux sont du genre hyperbole. En faisant les mêmes transformations que dans le cas précédent, on arrive aux équations (8) et (9) , dans lesquelles A' et C ont des signes contraires. Lorsque les quantités H et H' sont di (Térentes de zéro, chacune des équations représente une hyperbole. Si H et H' ont le même signe, les axes réels des deux courbes sont parallèles, et, comme le rapport des axes est le même, les courbes sont homothétiques. Lorsque H et H' ont des signes contraires, l'une des hyperboles est semblable à la conjuguée de l'autre. Dans les deux cas, les courbes ont leurs asymptotes parallèles.
' On conclut de ce qui précède que, lorsque deux équations du second degré ont les coefficients des termes du second degré proportionnels et représentent deux courbes réelles, ces courbes sont homothétiques; cependant, quand les courbes sont des hyperboles, il peut arriver que F une soit homothétique à la conjuguée de Vautre.
