PLAN PASSANT PAR TROIS POINTS DONNES

434. Pour qu'un plan Ax-\-By + Cz-\-D = o passe par trois points donnés (x{, yiy zx), (x2, y21 z2), (xZ9 y3, z8), il faut que les trois équations de condition

Ax2 -f By2 + Cz2 + D = o,

Aar, + By8 + C^ + D = o soient vérifiées. De ces équations du premier degré, on déduira

les rapports =r> ^> ^ de trois coefficients au quatrième.

Mais on peut obtenir immédiatement l'équation du plan à l'aide d'un déterminant. Considérons, en effet, le déter-

minant

xY

X3 Vz 'A

qui est un polynôme entier et du premier degré en x, y, z; il s'annule quand on y remplace x, y, z par xif yiy zi9 ou par x2 > V 2 > z2 y ou Par xs y V a> zzi car alors l^s éléments de la première ligne horizontale sont égaux à ceux de la seconde, ou de la troisième, ou de la quatrième. On en conclut que l'équation A=o représente le plan passant par les trois points donnés.

Lorsque les trois points donnés sont situés sur les axes des coordonnées, l'équation du plan prend une forme très-simple. Appelons a, b, c les coordonnées des points P, Q, R, où le plan coupe les axes. On obtient le point P en faisant, dans l'équation du plan, y = o et 2 = 0, ce qui donne a = — -rjonade

même b = — =r, et c = — -^. Si l'on remplace les rapports

tt-> 77» TT-par leurs valeurs > — T> > tirées des rela-

D D D L abc

tions précédentes, l'équation du plan se met sous la forme