INTERSECTION DE TROIS PLANS

438. La recherche du point d'intersection de trois plans revient à la résolution de trois équations du premier degré

Aa? +By +Cz' + D=o,

A'ff + B'y + C'z-f D'=o,

A"a? + B"y+C*z+D*=o, â trois inconnues x, y, z. Si les trois plans se coupent en un seul point, les trois équations admettent une solution finie et une seule. Si les trois plans n'ont pas de point commun, ce qui arrive quand les plans se coupent deux à deux suivant des .droites parallèles entre elles, ou quand deux des plans sont

parallèles, les trois équations n'ont pas de solution. Si les trois plans passent par une même droite, ou se confondent, il y a une infinité de solutions; dans le premier cas, on peut prendre à volonté Tune des variables ; dans le second cas, deux des variables.

Condition pour que quatre plans passent par un même point. Soit un quatrième plan ayant pour équation

la condition demandée s'obtient en exprimant qu'il existe un système de valeurs de x, y, z vérifiant les équations des quatre plans, c'est-à-dire en éliminant #, y, z entre les quatre équations. Cette condition est donc

Réciproquement si ce déterminant est nul sans que tous les mineurs relatifs à D, D', D", D'" soient nuls, les plans sont concourants. Si ces quatre mineurs sont nuls les quatre plans sont parallèles à une même droite : on peut encore dire qu'ils se coupent en un même point éloigné indéfiniment.