CONSTRUCTION DES FORMULES
45. En résolvant, si cela est possible, les équations d'ui» problème déterminé, on obtient des formules qui indiquent les opérations arithmétiques qu'il faut effectuer sur les nombres qui mesurent les grandeurs connues pour avoir les valeurs numériques des inconnues. Mais ne pourrait-on pas déduire de chaque formule, ou même de chaque équation, une construction graphique propre à donner, non plus la valeur numérique de l'inconnue, mais l'inconnue elle-même? En un mot, estil possible de remplacer les opérations numériques par des opérations graphiques? En géométrie élémentaire, on ne considère que les constructions qui peuvent être effectuées au moyen d'un nombre limité de lignes droites et de cercles, et qui, par conséquent, n'exigent que l'emploi de la règle et du compas. Comme le cercle est la plus simple des courbes et la plus facile à décrire, les anciens géomètres attachaient beaucoup de prix à ces sortes de constructions ; d'un autre côté, ignorant l'analyse algébrique, ils manquaient de moyens pour décider si la question qu'ils avaient en vue est susceptible d'une solution de ce genre, et ce n'est qu'après avoir fait bien des efforts inutiles qu'ils se décidaient enfin à recourir à d'autres courbes. Leurs recherches ont rendu célèbres certains problèmes que l'on démontre aujourd'hui ne pouvoir être résolus par la ligne droite et le cercle. Tels sont les problèmes de la duplication du cube, de la trisection de l'angle, etc.
• Nous supposerons que l'inconnue est une ligne droite ; quand l'inconnue est une surface ou un volume, on la représente par ax ou a2x, a étant une ligne prise arbitrairement; la construction de la ligne x donne un rectangle ou un parallélipipède équivalents à la surface ou au volume cherchés. La détermination d'un angle donné par une de ses lignes tri go-
nométriques se ramène aussi à celle d'une droite. Nous supposerons encore que toutes les lettres désignent, ainsi que xt des lignes droites.
40. Formule rationnelle. La formule qui donne l'inconnue x doit être homogène et du premier degré ; elle peut d'ailleurs être entière, rationnelle ou irrationnelle. Quand elle est entière, elle a la forme
et on obtient la longueur x en portant à la suite Tune de l'autre, dans un sens ou dans l'autre, les longueurs a, b, c,... La formule fractionnnaire la plus simple est
ab
L'inconnue est une quatrième proportionnelle, que Ton construira par deux parallèles ou par un cercle. On construira de même la formule
abcd a b cd
% = -j7r7 ou a? = -,X77X —
abc abc
par une série de quatrièmes proportionnelles,
cd by a3
A l'aide de la construction précédente , un monôme
abc. .qhi. ../.., l , , n ,
• ,,, , 7— du degré m se ramènera a la forme ou. . . /, ou
abc... g °
encore à la forme X™-1 1, 1 étant une longueur quelconque et t
une ligne déterminée par la formule
OLÎ . . . /
Considérons maintenant la formule
dans laquelle A, B, C désignent des monômes du degré m-j-i, A', B', C des monômes du degré m. On ramène d'abord chacun
de ces monômes aux formes simples
lma , lmb , \mc,...y Xm-W , X"1-1*' , Xm-V,
et l'on a
__X(a — b-\-c) Xa
On déterminera ensuite l'inconnue x par une quatrième proportionnelle entre les lignes p, a, X.
Si la fraction était du degré m, les opérations qui précèdent la ramèneraient à la forme
47. Formule irrationnelle du second degré. Soit d'abord la formule
x = \/ab, ou - = t# x o
L'inconnue x est une moyenne proportionnelle entre les lignes a et b ; on l'obtient par un triangle rectangle, ou par une tangente au cercle.
Lorsque le radical porte sur une fonction rationnelle du degré m, on transforme ainsi la formule
\/i™-u=\/i™-nt=i 2 u.
Considérons maintenant une formule irrationnelle du second
degré, dans laquelle nous supposons que les quantités réunies
par le signe + ou le signe — sont homogènes et du même
degré. Pour plus de clarté, nous imaginerons la valeur de x
ramenée à la forme
N et D désignant des fonctions dans lesquelles n'entre pas le signe de la division, ni d'exposant fractionnaire ou négatif; on peut supposer aussi qu'il n'y a pas de produit de deux radicaux ni de produit d'un radical par une quantité entière. Pour obtenir la valeur du numérateur N, il faut effectuer certaines opérations dans un ordre déterminé ; le premier signe radical
porte sur une expression entière, on le ramènera à la forme X 2 u; si cette quantité doit être ajoutée à d'autres, on ramènera
celles-ci à la même forme, et par suite aussi leur somme. Un
nouveau signe radical peut porter maintenant, soit sur une
m quantité entière, soit sur une quantité affectée de l'exposant —,
m m étant impair. Dans tous les cas, on ramènera le radical à la
forme X4y, on ajoutera ce terme à d'autres de même forme, et ainsi de suite. On voit ainsi que le numérateur N prendra la
forme \&t. Il en sera de même du dénominateur D. L'inconnue x étant du premier degré, on l'obtiendra par une quatrième proportionnelle.
On démontre que les hypothèses que nous avons faites sur la composition de la formule sont nécessaires pour qu'elle soit homogène.
Ainsi, toute expression homogène du premier degré, composée d'une manière quelconque au moyen des signes d'opérations simples, addition, soustraction, multiplication, division, élévation à une puissance entière, racine carrée; en un mot, toutes les expressions rationnelles et toutes les expressions irrationnelles ne contenant que des racines carrées, peuvent être construites au moyen d'un nombre limité de lignes droites et de cercles.
On démontre aussi que les expressions de cette nature sont seules susceptibles d'être construites de la façon indiquée; mais cette démonstration ne peut trouver place ici. Ainsi, par exemple, le côté x du cube double d'un autre dont le côté est a, côté donné par la formule
ne peut pas s'obtenir par la règle et le compas ; il en est de même, en général, des racines des équations du troisième et du quatrième degré, puisqu'il entre des radicaux cubiques dans l'expression de ces racines.
48. Construction des racines de l'équation du second degré. L'équation du second degré à une seule inconnue se
ramène à la forme x2-\-px-\-q=o; pour quelle soit homogène, il faut que la quantité^ soit du premier degré, et q du second degré ; si ces quantités sont rationnelles ou irrationnelles du second degré, on pourra construire une ligne d équivalente à la première et un carré b2 équivalent à la seconde, et l'équation du second degré présentera l'une des quatre dispositions suivantes :
x2 -\-ax-\- b2 = o, x2 -\-ax — b2 = o, x2 — ax-\- b2 = o, x2 — ax — b2~o.
Les racines de la première et de la seconde équation sont égales à celles de la troisième et de la quatrième, prises en signes contraires; il suffit donc de considérer celles-ci; or, si on les mot sous la forme
on voit qu'il s'agit de construire un rectangle équivalent à un carré b2, et dont la somme ou la différence des côtés soit égale à une ligne donnée a, problèmes que l'on résout en géométrie élémentaire. La résolution des équations et la construction des formules feraient au besoin retrouver les solutions de la géométrie.
L'équation bi-carrée se ramène pareillement à l'un des types
xk -\- abx2 — c2d2 = o, xk— abx2-\-c2d2 = o, xk — abx2 — c2d2 = o ;
car il est inutile de considérer l'équation xk^~abx2-\-c2d2 = of qui n'a que des racines imaginaires. Si Ton pose x2 = cz, ces équations deviennent
On détermine, comme on vient de le dire, les racines z de celles-ci, puis on trouve x par une moyenne proportionnelle entre c et z.
