La même construction peut aussi être appliquée à la

cissoïde et à la stropnoïde ; mais il faut auparavant donner de

ces courbes une autre définition géométrique. Considérons un angle droit ABC (fig. 3o), dont un côté BA passe par un point fixe A, et dont un point C de l'autre côté glisse sur une droite EE' ; on suppose de plus que la longueur BC est égale à la distance AO du point A à la droite EE7; le point M, milieu de BC, décrit une cissoïde, et le sommet B de l'angle droit une strophoïde.

En effet, les deux triangles rectangles ABC, AOC étant égaux, les angles CAL, ACL sont égaux, et le triangle ALC isocèle; puisque AB est égal à CO, on a aussi LB=rLO; donc le lieu du point B est une strophoïde (n° 23). Le t "iangle ACP est aussi isocèle ; joignons le point M au milieu D de AO et prolongeons cette ligne jusqu'à sa rencontre en K avec la parallèle CK à AO. Le triangle CMK étant isocèle, on a CK = CM = AD. Enfin décrivons une circonférence du point 0 comme centre avec OD pour rayon, soient F l'extrémité du diamètre DO et H le point de rencontre avec DK. Le triangle isocèle MCK est égal à DOH, DH =MK, d'où DM=KH; d'ailleurs la ligne FG est tangente en F à la circonférence. Donc le lieu du point M est une cissoïde ayant pour sommet le point D et pour asymptote la droite GG' (n° 20). Considérons maintenant le point de la figure mobile qui est en A, lorsque l'angle droit occupe la position ABC ; ce point décrit une courbe passant par le point Aet tangente en ce point à la droite AB; la droite AI, perpendiculaire à AB, sera la normale à cette courbe. D'autre part, la droite CI, perpendiculaire à EE', est la normale à la droite décrite par le point C ; le point d'intersection I de ces deux normales est le point de concours de toutes les normales. Donc les droites IB et IM

sont normales, l'une à la strophoïde, l'autre à la cissoïde.

PODAIRE S

38. On appelle podaire d'une courbe donnée AB le lieu du pied P de la perpendiculaire abaissée d'un point fixe 0 sur une tangente quelconque MP à cette courbe (fig. 3i). Une tangente voisine M'P' donnera un second point P' de la podaire. Soit D le point d'intersection des deux tangentes ; le cercle décrit sur OD comme diamètre passe par les points P et P', et la droite PP' est une sécante du cercle. Imaginons maintenant que le point M' se rapproche indéfiniment du point M, le point D viendra en M, et le diamètre OD coïncidera avec OM ; la sécante

PP' deviendra tangente à

la fois à la podaire et au cercle ; la normale à la podaire coïncidera donc avec la normale au cercle construit sur OM comme diamètre, et l'on obtiendra

Fig. 31.

cette normale en joignant le point P au point C, milieu de OM. Cette construction peut être appliquée aussi au limaçon, qui est la podaire du cercle (n° 28). Mais nous verrons plus tard (n° £07) que la construction des tangentes aux podaires se ramène à la méthode générale indiquée au n° 32.

EXERCICES

i° Un triangle variable ABC, dont le sommet A est fixe et l'angîe A constant, est inscrit dans un cercle donné. Démontrer que le lieu des centres du cercle inscrit et des cercles ex-inscrits au triangle se compose de deux limaçons.

2° Démontrer que le lieu des sommets des angles de grandeur donnée dont les côtés sont tangents à deux cercles donnés se compose de deux limaçons.

3° Un cercle variable touche un cercle donné en un point donné, on mène une tangente commune aux deux cercles. Démontrer que le lieu du point de contact de cette tangente avec le cercle variable est une cissoïde*

4° Un plan mobile se meut dans un plan fixe, de manière que deux droites du plan mobile restent tangentes respectivement à deux cercles du plan fixe. Démontrer qu'un point du plan fixe trace une ellipse sur le plan mobile.

5° Construire les courbes qui, dans le premier système des coordonnées bi-polaires, sont définies par l'équation u+nv = a. Démontrer que des trois équations u-\-nv — a, u — nv = a, — u+nv — a, dans lesquelles les deux constantes a et 72 ont les mêmes valeurs, deux seulement définissent des lieux géométriques. Ces lieux sont deux courbes fermées intérieures l'une à l'autre ; on les appelle ovales conjuguées de Descartes. Elles sont représentées par une même équation algébrique et entière en coordonnées rectilignes. Sur la droite qui passe par les deux pôles, il existe un troisième point, tel qu'en prenant pour pôle ce point et l'un des premiers, l'équation conserve la même forme.

6° Étant donnés deux cercles, si par un point fixe pris sur la ligne des centres on mène une sécante quelconque, et qu'on joigne cbaque centre à l'un des points de rencontre de la sécante et du cercle, démontrer que le point d'intersection de ces deux droites décrit les ovales de Descartes.

7° La projection de la courbe d'intersection de deux cônes de révolution dont les axes sont parallèles sur un plan perpendiculaire aux axes est un système d'ovale de Descartes.

8° Construire la courbe qui, dans le premier système bi-polaire, est représentée par l'équation uv = a2, 2a étant la distance des deux pôles. Cette courbe se nomme lemniscate.

9° Trouver le lieu du sommet d'un triangle dont la base a reste fixe, et dans lequel les deux autres côtés 6, c et la médiane correspondante

m vérifient la relation b — c = my/2 (lemniscate);

10° Une ligne droite et une circonférence tournent chacune d'un mouvement uniforme autour d'un point fixe commun aux deux lignes, on connaît le rapport m des deux vitesses angulaires, rapport affecté du signe -f ou du signe — , suivant que les rotations sont de même sens ou de sens contraire ; on demande le lieu décrit par le point de

rencontre des deux lignes.

On appliquera aux cas particuliers suivants : l°m= r> ou m= ->

limaçon de Pascal; 2° m = — 1, ou »i= -, rosace à quatre branches;

3° m—— s, ou m— 7: 4° m = 2, ou m — -.

11° Même question, en prenant pour lignes mobiles deux circonférences égales qui tournent autour d'un point fixe qui leur est commun.

Applications : 1° m = 2, limaçon de Pascal; 2° m = 3, rosace à quatre branches; m = — 2; 4° m = — H

De l'Homogénéité,

^9. Définitions. On dit qu'une fonction f (a, b, <?,...) est homogène par rapport aux lettres, a, b, c,..., lorsque, en remplaçant a par ka, b par kb,..., on a

f(ka ,kb ,kc , ...) = kmf(a, b ,c , ...);

l'exposant m est le degré de la fonction homogène. Telles sont, par exemple, les fonctions

a2-{-2ab ,

aV b 4-b y c sin- , /— :

Y a a-\-\/ab

le degré de la première est 2, celui de la seconde -, celui de

la troisième 0, et celui de la quatrième — 2. On voit aisément :

i° Que la somme ou la différence de deux fonctions homogènes du même degré est une fonction homogène du même degré que les fonctions proposées ;

20 Que le produit de plusieurs fonctions homogènes de degrés quelconques est une fonction homogène dont le degré est égal à la somme des degrés des fonctions proposées ;

3° Que le quotient de deux fonctions homogènes est une fonction homogène dont le degré est égal à l'excès du degré du dividende sur le degré du diviseur;

4° Que la puissance d'une fonction homogène est une fonction homogène dont le degré est égal au degré de la fonction proposée multiplié par l'indice de la puissance;

5° Que la racine d'une fonction homogène est une fonction homogène dont le degré est égal au degré de la fonction proposée divisé par l'indice de la racine;

6° Qu'une fonction transcendante d'une fonction homogène et du degré o est elle-même homogène et du degré o Par exemple, les fonctions

ab \ . fb + \/a" + b2\

*Kct> iog(

sont homogènes et du degré o ; car si on remplace a et b par ka et kb, la lettre k disparaît sous le signe transcendant, et on peut mettre en avant le facteur k°. Mais, si la quantité placée sous le signe transcendant, quoique homogène, n'était pas du degré o, la lettre k ne pourrait se mettre en facteur en avant du signe transcendant et la fonction ne serait pas homogène.

Ainsi, la fonction sin (a -{-y 6c) n'est pas homogène.

Lorsqu'un monôme est rationnel et entier par rapport aux lettres a, 6, c,..., on appelle degré du monôme, par rapport à une lettre, l'exposant de cette lettre dans le monôme ; degré du monôme, par rapport à plusieurs lettres, la somme des exposants de ces lettres. Un monôme est toujours une fonction homogène, d'un degré égal au degré du monôme ; donc la somme de plusieurs monômes du même degré est un polynôme homogène de ce même degré. Par exemple, le polynôme

as — 4 a26 + 5 a*2 — a ^

est une fonction homogène du troisième degré, par rapport aux lettres a et b.

40. Lorsqu'on cherche les relations qui existent entre les longueurs des diverses lignes A, B, C,... d'une figure, on imagine ces lignes rapportées à une unité de longueur, qui ordinairement n'est pas spécifiée et reste tout à fait arbitraire. Désignons par les lettres a, b, c,... les nombres qui expriment ainsi les mesures des lignes de la figure, et supposons que l'on ait trouvé entre ces nombres la relation

tfÉOM. ANALYT. 3

Les raisonnements que Ton a faits pour arriver à cette relation étant indépendants de l'unité de longueur, il est évident que cette relation doit subsister, quelle que soit cette unité. Appelons a, p, y,... les valeurs particulières de a, b, c,... pour une première unité; a, p', y',... les valeurs de ces mêmes quantités pour une autre unité ; ces deux séries de nombres vérifient les relations

(2) /'(a,P,ïv.) = 0»

Mais quand on change l'unité, les nombres varient proportionnellement, de sorte que, si l'on désigne par k le rapport de la première unité à la seconde, on a

a 6 y ~ — *' d'où a' = ka , p' = Ap , y = Ay

Si l'on substitue ces valeurs dans la relation (3), il vient

Concevons que, la première unité restant fixe, la seconde varie; a, p, y,... seront des nombres constants, k un nombre arbitraire, et l'équation (4) devra être vérifiée quel que soit ce nombre k.

Ainsi, si l'équation (1) est vérifiée quand on y remplace les lettres a, b, c,... parles nombres a, p, y,..., elle se7"a aussi vérifiée quand on y remplacera ces mêmes lettres par ka, kp, ky,... quel que soit le nombre k.

41. La condition précédente est évidemment remplie, lorsque le premier membre de l'équation (1) est une fonction homogène des lettres a, b, c,...; car alors on a

f[k*,k$,kt,...) = k'»f{*,p,y,...);

sï l'expression /(«, p, y,...) est nulle, il en sera de même de /{ka, 4p, ky,..*), quel que soit k\

Réciproquement, pour que la condition précédente soit remplie, il est nécessaire que l'équation soit homogène. Nous ne considérons ici que le cas où l'équation est algébrique.

Supposons que f(ay b,c,...) soit un polynôme entier; si tous les termes ne sont pas du même degré, groupons les termes dont le degré est le même; appelons <p (a, b, c,...) l'ensemble des termes du degré le plus élevé m, <\> (a, b, c,...) l'ensemble des termes du degré n, etc., l'équation (4) devient

Pour que cette équation soit vérifiée, quel que soit k, il est nécessaire que l'on ait séparément

Comme l'unité à laquelle se rapportent les nombres a, p, y,-» est arbitraire, on a entre les lignes de la figure les relations homogènes

Donc, si r équation (1) n'est pas homogène, elle équivaut à plusieurs équations, homogènes séparément.

42. Il peut arriver qu'une équation non homogène soit vérifiée, quand on fait choix d'une unité particulière, sans que les parties qui la composent soient nulles séparément ; mais alors, si Ton change l'unité, l'équation cessera d'être vérifiée.

Expliquons ceci par un exemple : Proposons-nous de déterminer les dimensions d'un cylindre, de telle sorte que sa surface totale soit équivalente à celle d'une sphère de rayon donné A et son volume à celui d'une sphère de rayon B.

Soient X le rayon et Y la hauteur du cylindre ; appelons a, b, x, y les mesures des lignes A, B, X, Y, rapportées à une unité quelconque ; les inconnues devront satisfaire aux deux équations

(5) 2X2-\-2xy — 4a2 = 0,

Chacune de ces équations est homogène : l'une est du second degré, l'autre du troisième. Si elles sont vérifiées quand on rapporte les lignes à une certaine unité, il en sera de même quand on les rapportera à une autre unité.

Les inconnues x et y satisfont également à l'équation non nomogène

que l'on obtient en ajoutant les précédentes membre à membre. Considérons maintenant l'équation (7), abstraction faite de son origine. On peut trouver quatre lignes A, B, X, Y, telles que, si on les mesure avec une unité particulière, les nombres obtenus vérifient cette équation, sans annuler séparément les deux parties. Supposons, par exemple, que les lignes, rapportées à une première unité, aient pour mesures les quatre nombres a=i, b-—rh,x—i,y—[\, dont trois ont été pris arbitrairement et le quatrième déterminé ensuite par l'équation (7) ; si on mesure les mêmes lignes avec une unité deux fois plus petite, on obtient des nombres deux fois plus grands a=2, 6=6, #~4, y =8, qui ne satisfont plus à l'équation. Le cylindre construit avec les lignes X et Y ainsi déterminées j ouit de cette propriété que la somme des nombres, qui, avec l'unité choisie, expriment les mesures de sa surface et-de son volume, est égale à la somme des nombres qui expriment les mesures de la surface d'une sphère et du volume d'une autre sphère; mais la même relation n'a plus lieu quand l'unité linéaire change. L'équation (7) ne peut être vérifiée par les mesures des mêmes lignes, quand on fait varier arbitrairement l'unité de longueur, qu'autant que ces lignes satisfont aux équations (5) et (6), prises isolément. Dans la résolution des problèmes de géométrie, on ne fait jamais de combinaisons d'équations analogues à la précédente, Les équations, que donnent immédiatement les théorèmes de la géométrie élémentaire, sont homogènes; et, quand on ajoute deux équations membre à membre, c'est afin d'obtenir une nouvelle équation plus simple que l'une des proposées ; pour cela, il est nécessaire que les équations que l'on ajoute soient du même degré. Le principe de l'homogénéité pourra

servir à chaque instant à vérifier les transformations algébriques effectuées.

43. Lorsqu'on prend pour unité de longueur une des lignes de la figure, les équations cessent d'être homogènes ; mais il est facile de rétablir l'homogénéité. Soit

l'équation à laquelle on arrive quand on prend pour unité la ligne A; les lettres b', e',... désignent les mesures des lignes B, C,... rapportées à A. Laissons l'unité arbitraire et appelons a, ô, c,... les mesures des lignes A, B, C,...; on a

abc

dou h = - , c =->•••»

et l'équation (8) se transforme dans la suivante

qui est homogène.

Ainsi, par exemple, si l'on rapporte les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle à l'hypoténuse de ce triangle prise pour unité, les mesures des côtés vérifient l'équation non homogène

de laquelle on déduit l'équation homogène

*l4-£l=1, ou b* + c* = a\ a2 a2

en remplaçant b' par - et c' par -•

Les courbes, ellipse, hyperbole, parabole, cissoïde, etc., étudiées dans le chapitre précédent, sont représentées par des équations homogènes. Une équation homogène quelconque

f(x,y,a,b,cf...) = o, entre les coordonnées variables x et y d'un point du plan et les longueurs a, b, c,... de diverses droites données, détermine une courbe, dont la position et les dimensions sont indépen-

dantes de l'unité avec laquelle on mesure les lignes. Considérons au contraire une équation numérique entre x et y,

c'est-à-dire une équation ne renfermant pas d'autres lettres que x et y, et supposons cette équation non homogène. Pour représenter par des points du plan les solutions réelles de cette équation, il faut commencer par choisir arbitrairement une échelle, ou la droite que l'on prendra pour unité. Quand l'échelle varie, la courbe ne reste plus la même ; nous verrons plus tard que les diverses courbes ainsi obtenues ont des analogies remarquables; ce sont des courbes homothétiques.

44. Remarque I. Il arrive souvent que l'on considère dans une même question des nombres qui expriment des mesures de lignes, de surfaces et de volumes ; les unités de surface et de volume restent, comme l'unité de ligne, indéterminées ; mais on suppose habituellement qu'il existe entre elles cette relation, que l'unité de surface est le carré construit sur l'unité de longueur, et l'unité de volume le cube construit sur la même droite. Dans ce cas, pour vérifier l'homogénéité d'une relation dans laquelle certaines lettres S et V désignent la mesure d'une surface ou d'un volume, on remplacera ces lettres par p2 et q*, en désignant par p et q les côtés du carré ou du cube équivalents à la surface ou au volume considérés; de cette manière l'équation ne contiendra plus que des lignes. On peut aussi se dispenser de faire cette substitution, et alors, dans l'évaluation du degré de chaque terme, on double l'exposant des lettres qui désignent des surfaces, et on triple ceux des lettres qui désignent des volumes.

Remarque IL En général, lorsque des angles entrent dans un calcul, ces angles sont rapportés à une unité complètement déterminée et leurs mesures sont des nombres fixes. Pour évaluer un angle, on décrit de son sommet comme centre, avec un rayon arbitraire, un arc de cercle et on prend le rapport de cet arc au rayon, ce qui revient à choisir pour unité d'angle celui dans lequel l'arc est égal au rayon. Les fonctions trigonométriques des angles sont également des nombres.

Dans l'application du principe de l'homogénéité, on fera donc abstraction des lettres qui désignent des angles ou leurs fonctions trigonométriques.