SPHÈRE

4ë9. La surface de la sphère, étant le lieu des points distants du centre d'une quantité constante, a pour équation,, en coordonnées rectangulaires,

(x — af-\-(y — b)* + (z — c)*=r*.

Si, à l'équation d'une sphère, on joint celle d'un plan, on aura les équations de la ligne d'intersection, c'est-à-dire d'un cercle dans l'espace.

EXERCICES

i° Étant donnés un système de trois axes perpendiculaires et un point sur chacun des axes, trouver en fonction des coordonnées des trois points :

i° Les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle qui aurait pour sommets les trois points; 2° les coordonnées du centre du cercle inscrit dans le même triangle.

2° Étant donnée une conique, trouver dans l'espace le lieu des points tels que la distance de chacun d'eux à l'un quelconque des points de la conique soit une fonction rationnelle des coordonnées du point de la conique.

La distance est aussi une fonction rationnelle des coordonnées du point cherché.

Si l'on joint deux points du lieu à un point quelconque de la conique, la somme ou la différence des distances est constante.

3° Démontrer que, si par chacune des arêtes d'un angle trièdre et la bissectrice de la face opposée, on fait passer un plan, les trois plans ainsi obtenus se coupent suivant une même droite.

4° Étant donnés an trièdre et une droite passant par son sommet, par la droite fixe et chacune des arêtes on fait passer un plan qui partage la face opposée en deux segments; démontrer que le produit des sinus de trois segments non consécutifs est égal au produit des trois autres. (Réciproque.)

5° Étant donné un trièdre, par le sommet on mène un plan quelconque qui détermine sur chaque face deux segments; démontrer que le produit des sinus de trois segments non consécutifs est égal et de signe contraire au produit des trois autres. (Réciproque.)

6° Trouver l'aire d'un triangle en fonction des coordonnées des sommets, les axes étant rectangulaires.

7° Trouver le volume d'un tétraèdre ayant l'un de ses sommets à l'origine en fonction des coordonnées des trois autres sommets.

8° Démontrer que les droites qui joignent les milieux des côtés opposés d'un tétraèdre passent par un même point.

9° Trouver l'équation d'un plan mené par un point de l'axe des x perpendiculairement à cet axe, les coordonnées étant obliques.

Application à la détermination du centre d'une sphère donnée par son équation en coordonnées obliques, au moyen de plans perpendiculaires aux axes.

io° Les six plans des cercles d'intersection de quatre sphères prises deux à deux se coupent en un même point.

ii° Soient OXYZ, OX'Y'Z' deux trièdrestrireclangles disposés d'abord de façon que les arêtes OX et OX', OY et OY', OZ et OZ' coïncident. On fait tourner dans le sens direct d'un angle 6 le second trièdre autour d'une droite faisant des angles a, (3, y avec les axes OX, OY, OZ. Démontrer que, si l'on prend pour axes de coordonnées les arêtes du premier trièdre et celles du second après la rotation, on aura les formules de transformation :

hx = {i+J — H-2—v2)a5,+ 2(X^— v)y' +2(xv + pl)z'

% = a(^ + v)œ' +(I+IJl»— va— x2)y' +2((xv— X)z',

ft* = 2(vX— 11)0/ +2^ + %' + (i + v« — X» — ^t)*';

dans lesquelles

X=cosatang-, y.:=cos{3tang~, v = cosvtang-j

i2° Soient Oa^?/,^ et 0#?/£ deux systèmes d'axes quelconques. Appelons a, b, c; ar, b', cr; a", b", c" les cosinus des angles que font les axes Qx^iZi respectivement avec les axes Oxyz; démontrer que les conditions nécessaires et suffisantes pour que chacun des systèmes d'axes soit un trièdre trirectangle sont les six relations (4) et (5) du n° 4a3.