Soient

mière droite AB,

les équations de la pre-

-1 celles de la droite CD

(fig. 281). On sait que la perpendiculaire commune MN à ces

deux droites mesure leur plus courte

distance. On sait aussi que la longueur / de cette perpendiculaire commune MN est égale à la distance d'un point quelconque de la droite CD au plan P mené par la droite AB parallèlement à CD. Cherchons d'abord l'équation du plan P; tout Flg< 281# plan mené par le point (#', y', zr) de

la droite AB a une équation de la forme

pour que ce plan contienne la droite AB et soit parallèle à la droite CD il faut et il suffit que l'on ait

Aa +Bb + Cc =o

Aa1 + B61+Cc1 = o.

En éliminant A, B, G entre ces trois équations, on a pour l'équation du plan P

x —x y — y z — z abc at b4 ct

La distance à ce plan d'un point quelconque de la droite CD, par exemple du point (x\ , y\ , z\), a pour expression (n° 437)

z\—x y, — y zi~z

abc

ai bt ci

V(bci — cbiï + Oi - aci)2 + (aôi — ba^2

Telle est la plus courte distance des deux droites données. En désignant par p , q , r , p{ , ql , rt les même quantités que précédemment (éq. 8), on peut écrire

aPi + bq, + cri + aiP + b,q + c,r

\/(bci — cbj2 + (cat — aej2 -\- (abi — bat

Si Ton demandait les équations de la perpendiculaire commune MN, il faudrait, par chacune des droites données AB, CD, mener un plan perpendiculaire au plan P; ces deux plans, par leur intersection, détermineraient la droite MN. On voit facilement, en suivant la même marche que pour trouver l'équation du plan P, que ces deux plans ont pour équations

bci — cb1 ca1 — aCi abi — <

Les deux équations simultanées (a5) et (26) représentent la perpendiculaire commune MN.

bci — cbi

cai — act

ab{ — bai

Remarque I. Quand la droite AB est parallèle à CD la longueur de la plus courte distance est évidemment égale à la distance d'un point de CD, du point (x\ , y\ , z) par exemple, à la droite AB.

Dans cette hypothèse on a

bci — cbt = cai — aci = abt — bai = o ,

l'expression de / devient donc indéterminée n° (443) et les équations (25) et 26) deviennent des identités. Cela résulte de ce que, dans ce cas particulier, le plan P mené par AB parallèlement à CD est indéterminé, car tout plan mené par AB est parallèle à CD.

Remarque IL Prenons sur les deux droites des longueurs AB = CD = i"', et joignons les points A et B aux points C et D. Nous formerons ainsi un tétraèdre dont le volume est, d'après une formule connue,

s . ÂB • CD . / . sin V o

V désignant l'angle des deux droites. La formule (24') montre que ce volume est égal à

1 (api -f bqi + ctj -{- a^p -f- b\q + CiQ- ~~6 y/a2 + fi» -f c2 V7«i2 + ^i2 + ^i2